Desarguesin lause

Desarguesin lause on projektiivisen geometrian lause, joka käsittelee kahden kolmion suhdetta toisiinsa. Kolmioiden vastinpisteitä yhdistävät suorat kohtaavat toisensa samassa pisteessä, jos ja vain jos niiden sivujen jatkeet kohtaavat toisensa samalla suoralla.

Oletetaan, että kolmiot PQR ja P'Q'R' sijaitsevat siten, että suorat PP', QQ' ja RR' leikkaavat samassa pisteessä O ja että suorat PR ja P'R' leikkaavat pisteessä E, suorat PQ ja P'Q' pisteessä F ja suorat QR ja Q'R' leikkaavat pisteessä D. Tällöin E, F ja D ovat samalla suoralla.

Todistus: Sovelletaan Menelaoksen lausetta ensiksi kolmioon OQR ja suoraan DR'Q', sitten kolmioon ORP ja suoraan EP'R' ja lopuksi kolmioon OPQ ja suoraan FQ'P'. Tällöin kukin lausekkeista QD/RD RR'/OR' OQ'/QQ', RE/PE PP'/OP' OR'/RR' ja PF/QF QQ'/OQ' OP'/PP' on arvoltaan 1 samoin kuin näiden tulo, joka on QD/RD RE/PE PF/QF. Tämä on Menelaoksen lause sovellettuna kolmioon PQR, joten D, E ja F ovat samalla suoralla.

Lähteet

• Matti Lehtinen: Geometrian perusteita matematiikkalehtisolmu.fi. 2011.
• Jan Thompson: Matematiikan käsikirja, s. 63. Tammi, 1991. ISBN 951-31-0471-0