Cesàron yhteenlasku

Cesàron yhteenlasku määrittelee jatkuvien sarjojen yhteenlaskua. Se tunnetaan myös nimellä Cesàron summakaava.

Cesàron yhteenlasku on nimetty italialaisen analyytikon Ernesto Cesàron (1859–1906) mukaan .

MääritelmäMuokkaa

Olkoon {an} sarja ja olkoon

 ,

sarjan

  k:s osasumma.

Sarjaa {an} kutsutaan Cesàro-summautuvaksi, jos Cesàron summa  , jos sen keskiarvo osasummista   lähenee  :ta:

 

Toisin sanoen siis äärettömän sarjan Cesàro-summa on sarjan ensimmäisten osasummien 1, ..., n aritmeettisen keskiarvon raja-arvo, kun n lähestyy ääretöntä.

EsimerkkejäMuokkaa

Olkoon an = (−1)n+1, kun n ≥ 1. {an} on lukujono

 

Merkitään sarjaa   G:llä.

Näin ollen lukujonon osasumma {sn}   on

 

Nähdään, että sarja G, (joka tunnetaan myös Grandin sarjana), ei suppene.

Toisaalta sarjan {sn} keskiarvojen muodostaman sarjan {tn}

Toisaalta sarjan {sn} keskisarjan {tn} termit

  termejä ovat
 

joten

 

Tällöin Cesàron summa sarjalle G on 1/2.

LähteetMuokkaa

Englanninkielinen Wikipedia