Avaa päävalikko

Catalanin otaksuma on Eugene Charles Catalanin esittämä otaksuma, jonka mukaan Diofantoksen yhtälön

ainoa positiivinen kokonaislukuratkaisu on

, , ja , kun ja .

Catalanin otaksuman todisti vuonna 2002 Preda Mihăilescu syklotomisten kuntien ja Galois'n modulien teorian avulla.

TodistushahmotelmaMuokkaa

Mihăilescun todistus perustuu viiteen päälauseeseen[1]: Olkoot   ja   parittomia alkulukuja ja   nollasta poikkeavia kokonaislukuja.

Lause 1: On voimassa   ja  .

Lause 2: On voimassa   tai  .

Lause 3: On voimassa   ja  .

Päälause: Yhtälön   ne kokonaislukuratkaisut, joille   ja   ovat  .

Lause 4: Olkoot   ja   parittomia alkulukuja. Oletetaan, että   tai  . Tällöin yhtälöllä   ei ole nollasta poikkeavia ratkaisuja, kun  .

Näiden lauseiden todistukset perustuvat pääosin Rungen menetelmään ja syklotomisiin kuntiin.

LähteetMuokkaa

  1. Schoof, René: Catalan's conjecture
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.