Catalanin otaksuma

Catalanin otaksuma on Eugène Charles Catalanin esittämä otaksuma, jonka mukaan Diofantoksen yhtälön

$x^{n}-y^{m}=1$

ainoa positiivinen kokonaislukuratkaisu on

$x=3$, $y=2$, $n=2$ ja $m=3$, kun $n,m>1$ ja $x,y\neq 0$.

Catalanin otaksuman todisti vuonna 2002 Preda Mihăilescu syklotomisten kuntien ja Galois'n modulien teorian avulla.

Todistushahmotelma

Mihăilescun todistus perustuu viiteen päälauseeseen: Olkoot $p$ ja $q$ parittomia alkulukuja ja $x,y$ nollasta poikkeavia kokonaislukuja.

Lause 1: On voimassa $p^{q-1}\equiv 1{\pmod {q^{2}}}$ ja $q^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$.

Lause 2: On voimassa $p\equiv 1{\pmod {q}}$ tai $q\equiv 1{\pmod {p}}$.

Lause 3: On voimassa $p<4q^{2}$ ja $q<4p^{2}$.

Päälause: Yhtälön $x^{p}-y^{q}=1$ ne kokonaislukuratkaisut, joille $p,q\geq 2$ ja $x,y\neq 0$ ovat $p=2,q=3,x=\pm 3,y=2$.

Lause 4: Olkoot $p$ ja $q$ parittomia alkulukuja. Oletetaan, että $p\leq 41$ tai $q\leq 41$. Tällöin yhtälöllä $x^{p}-y^{q}=1$ ei ole nollasta poikkeavia ratkaisuja, kun $x,y\in \mathbb {Z}$.

Näiden lauseiden todistukset perustuvat pääosin Rungen menetelmään ja syklotomisiin kuntiin.