Arnoldin kissa

Arnoldin kissa on kaoottinen kuvaus torukselta itselleen. Se liittyy läheisesti dynaamisten systeemien toimintaan. Kuvaus on nimetty venäläisen matemaatikon, Vladimir Arnoldin mukaan, joka käytti kissaa esimerkkinä kuvauksen ominaisuuksista 1960-luvulla. Funktiona se on esimerkki Anosovin diffeomorfismista. Arnoldin kissakuvaus on

Arnoldin kissakuvaus sovellettuna valokuvaan kissasta. Kun funktiota on sovellettu 300 kertaa, kuva on palautunut entiselleen.

$q_{t+1}-3q_{t}+q_{t-1}=0\;(\mathrm {mod} N)$

tai kanonisessa muodossa, määrittelemällä $p_{t}=q_{t}-q_{t-1}\,$ (vrt. Hamiltonin mekaniikka)

${\begin{cases}q_{t+1}=q_{t}+p_{t}\;(\mathrm {mod} N)\\p_{t+1}=q_{t}+2p_{t}\;(\mathrm {mod} N)\end{cases}}$

Koska Arnoldin kissakuvauksen Jacobin determinantti on yksi, se on paitsi kääntyvä, myös säilyttää pinta-alat. Käänteiskuvaus on

${\begin{cases}q_{t-1}=2q_{t}-p_{t}\;(\mathrm {mod} N)\\p_{t-1}=-q_{t}+p_{t}\;(\mathrm {mod} N)\end{cases}}$

Jos q ja p ovat reaalilukuja, yhtälöiden modulossa oleva kokonaisluku N valitaan tavallisesti ykköseksi, jolloin kyseessä on kuvaus yksikköneliöltä itselleen syklisin reunaehdoin. Esimerkki tästä on oheisessa kuvassa, jossa kuvausta sovelletaan valokuvaan kissasta.

Aiheesta muualla

• Arnoldin kissa Mathworldissa (englanniksi)