Avaa päävalikko

Aksiomaattinen joukko-oppi on toinen niistä osista, joihin joukko-oppi tavallisesti jaetaan. Toinen osista on naiivi joukko-oppi. Joukko-opin kehitti 1800-luvun lopulla saksalaisen matemaatikko Georg Cantor matematiikan haaraksi. Se on nykyisen matematiikan perustava osa.

Aksiomaattinen joukko-oppiMuokkaa

Nykyisin eniten tutkittu ja käytetty joukko-opin aksiomaattinen järjestelmä on Zermelo-Fraenkelin aksioomat, lyhenne ZF. Usein aksioomien joukkoon lisätään myös valinta-aksiooma C, jolloin käytetään lyhennettä ZFC. Aksioomia on kymmenen:

  1. Ekstensionaalisuusaksiooma: Kaksi joukkoa ovat samat jos ja vain jos niillä on samat alkiot.
     
  2. Tyhjän joukon aksiooma: On olemassa alkioton joukko. Merkitsemme tätä tyhjää joukkoa  .
  3. Pariaksiooma: Jos   ja   ovat joukkoja, niin myös   on joukko, joka sisältää vain alkiot   ja  .
     
  4. Yhdisteaksiooma: Jokaista joukkoa   kohti on olemassa joukko  , jonka alkiot ovat samat kuin joukon   alkioiden alkiot.
  5. Äärettömyysaksiooma: On olemassa sellainen joukko  , että   on  :n alkio ja aina kun   on  :n alkio, niin on myös unioni  .
  6. Erotteluaksiooma (erotusaksiooma, separaatioaksiooma tai osajoukkoaksiooma): Jokaista joukkoa ja jokaista propositiota (ehtoa, relaatiota)   kohti on olemassa sellainen alkuperäisen joukon osajoukko, joka sisältää täsmälleen ne joukon   alkiot, joille   pätee.
  7. Korvausaksiooma: Jokaista joukkoa ja kuvausta, joka määritellään formaalisti relaationa   missä ehdosta   ja   seuraa  , kohti on olemassa joukko, joka sisältää täsmälleen alkuperäisen joukon alkioiden kuvat.
  8. Potenssijoukkoaksiooma: Jokaisella joukolla on potenssijoukko eli sen kaikkien osajoukkojen joukko. Se on: jokaista joukkoa   kohti on olemassa joukko  , joka sisältää vain kaikki  :n osajoukot.
  9. Säännöllisyysaksiooma: Jokainen epätyhjä joukko   sisältää sellaisen alkion  , että   ja   ovat erillisiä joukkoja.  
  10. Valinta-aksiooma: (Zermelon versio) Jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa   kohti on olemassa joukko   joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta  :n alkiosta.

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.