Kvasiryhmä
Kvasiryhmä (quasigroup) on algebrallinen rakenne, joka koostuu joukosta G ja siinä määritellystä binäärioperaatiosta *. Magmasta poiketen kvasiryhmässä jakaminen on aina mahdollista. Useimmat kvasiryhmät eivät ole assosiatiivisia. Yksikköalkiollisia kvasiryhmiä kutsutaan luupeiksi (loop).
Määritelmiä muokkaa
Kvasiryhmälle on käytössä kaksi formaalia määritelmää. Toinen määrittelee kvasiryhmän yhdellä binäärioperaatiolla ja toinen kolmella.
Määritelmä 1 muokkaa
Kvasiryhmä (Q, *) tarkoittaa joukkoa Q ja sellaista siinä määriteltyä *, jolle jokaista joukon Q alkiota a ja b kohti on olemassa yksikäsitteiset joukon Q alkiot x ja y, joille pätee
- a*x = b ,
- y*a = b .
Näiden yhtälöiden yksikäsitteiset ratkaisut kirjoitetaan usein x = a \ b ja y = b / a. Operaatiota \ ja / kutsutaan vasemmalta ja oikealta jakamiseksi (vrt. matriiseilla vasemmalta ja oikealta kertominen).
Määritelmä 2 muokkaa
Universaalissa algebrassa kvasiryhmä (Q, *, \, /) on joukko ja siinä määritellyt kolme binäärioperaatiota, jotka toteuttavat seuraavat ehdot:
- y = x * (x \ y) ,
- y = x \ (x * y) ,
- y = (y / x) * x ,
- y = (y * x) / x .
Esimerkkejä muokkaa
- Kokonaisluvut Z ja vähennyslasku muodostavat kvasiryhmän.
Perustelu: Kun a ja b ovat kokonaislukuja, a - x = b ja y - a = b, kun x = a - b ja y = b - (-a). Tämä kvasiryhmä ei ole luuppi: nolla on yksikköalkio vain oikealta, mutta yleisesti 0-a ei ole a.