Binäärioperaatio

kaksioperandinen matemaattinen operaatio

Joukon A binäärioperaatio tai binäärinen operaatio on funktio Pohjimmiltaan se on abstrakti laskutoimitus.

Alkion kuva-alkiolle on yleinen merkintätapa . Koska relaatio on funktio, täytyy päteä, että alkio on yksikäsitteinen.

Ominaisuuksia muokkaa

Joukon A binäärioperaatio   on

  • ykkösellinen, jos on olemassa sellainen alkio   (neutraalialkio), jolle pätee   kaikilla  
  • kommutatiivinen, jos   kaikilla   ja
  • assosiatiivinen, jos   kaikilla  .

Viimeisessä kohdassa merkintä   tarkoittaa parin   kuva-alkiota.

Esimerkkejä muokkaa

Kokonaislukujen yhteenlasku (+) ja kertolasku ovat kommutatiivisia ja assosiatiivisia binäärioperaatiota. Yhteenlaskun neutraalialkio on 0 ja kertolaskun neutraalialkio on 1. Vastaavasti myös esimerkiksi rationaalilukujen ja reaalilukujen yhteen- ja kertolaskut ovat binäärioperaatioita.

Nollasta eroavien kokonaislukujen jakolasku (/) ei ole binäärioperaatio, koska esimerkiksi parin   kuva   ei kuulu kokonaislukuihin. Toisaalta nollasta eroavien rationaalilukujen jakolasku on binäärioperaatio, joka ei ole kommutatiivinen, koska esimerkiksi  

Merkitys algebrassa muokkaa

Binäärioperaatiolla on merkittävä osa useassa abstraktin algebran rakenteessa. Esimerkiksi magma on pari  , missä A on joukko ja   on joukon A binäärioperaatio. Magman johdannaisissa rakenteissa binäärioperaatiolta vaaditaan lisää ominaisuuksia. Esimerkiksi puoliryhmä on magma, jonka binäärioperaatio on assosiatiivinen. Muita magmasta lähteviä rakenteita ovat esimerkiksi monoidi, kvasiryhmä, luuppi ja ryhmä. Rengas, kokonaisalue ja kunta ovat taas kolmikkoja  , missä A on joukko sekä   ja   ovat joukon A binäärioperaatiota tietyin lisäehdoin.

Lähteet muokkaa

Kirjallisuutta muokkaa

  • Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.