Genus (matematiikka)

Genus on topologiassa pinnan niin sanottujen kahvojen lukumäärä. Genus on siis kokonaisluku, joka kertoo montako erillistä silmukkaa myöten pinnan voi leikata auki niin että se pysyy yhtenäisenä.

• 
  genus 0
• 
  genus 1
• 
  genus 2
• 
  genus 3

Mukin pinnan genus on yksi, kuin myös toruksen.

Määritelmä

Seuraavat määritelmät aritmeettiselle ja geometriselle genukselle löytyvät Qing Liun kirjasta "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves":

Olkoon $X$ projektiivinen käyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan $k$. Tällöin $X$:n aritmeettinen genus on määritellään Eulerin karakteristikan avulla

$p_{a}(X):=1-\chi _{k}({\mathcal {O}}_{X}),$

joka riippuu $k$:sta. Jos $Y$ on sileä projektiivinen varisto yli $k$:n, niin $Y$:n geometrinen genus on

$p_{g}(Y)=\operatorname {dim} _{k}H^{0}(y,\omega _{Y/k}),$ missä $\omega$ on dualisoituva (tai kanoninen) lyhde ja $H^{0}$ tarkoittaa $\omega _{Y/k}$:n nollatta Čechin kohomologiaryhmää.

Yleisesti ei-algebrallisesti suljetussa kunnassa $k$ määritellään korkeampiuloitteisten ja ei-jaottoman variston aritmeettinen genus asettamalla

$p_{a}(X):=(-1)^{\operatorname {dim} X}(\chi (X,{\mathcal {O}}_{X})-1),$

missä $\chi$ on rakennelyhteen Eulerin–Poincarén karakteristika.

Kun X on algebrallinen käyrä, jonka kuntana on kompleksiluvut, ja X:llä ei ole singulaarisia pisteitä, molemmat määritelmät kuvaavat pinnan kahvojen lukumäärää. Sen sijaan yleisessä tapauksessa aritmeettinen genus voi olla myös negatiivinen luku.