Pinta (geometria)

Määritelmä

Olkoon $(X,{\mathcal {T}})$ topologinen avaruus. Tällöin joukon $X$ pinta on mikä tahansa jatkuva kuvaus $\omega :D\rightarrow X$, missä joukko $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ on yhtenäinen.

Kuvauksen $\omega$ kuvajoukkoa $\omega (D)$ kutsutaan pinnan $\omega$ kuvaajaksi. Usein tosin pinnan kuvaajaa kutsutaan lyhyesti vain pinnaksi.

$\mathbb {R} ^{n}$:n pinnat

Euklidisen avaruuden $\mathbb {R} ^{n}$ pintoja kutsutaan yleensä parametrisoiduiksi pinnoiksi. Nimitys juontuu siitä, että voimme aina kirjoittaa pinnan $\omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ kaavan jatkuvien funktioiden $\omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}:D\rightarrow \mathbb {R}$ avulla siten, että pisteessä $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ pinnan $\omega$ kaava

$\omega (x,y)=(\omega _{1}(x,y),\omega _{2}(x,y),...,\omega _{n}(x,y))$.

Funktioita $\omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}$ kutsutaan pinnan $\omega$ koordinaattifunktioiksi.

Oletetaan, että $\omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ on pinta ja että sen koordinaattifunktioiden $\omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}$ osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia (ts. ne koordinaattifunktiot ovat jatkuvasti derivoituvia). Määrittelemme, että pinnan $\omega$ osittaisderivaatat pisteessä $(x,y)\in D$ ovat funktiot $\partial _{1}\omega ,\partial _{2}\omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$,

$\partial _{1}\omega (x,y)=(\partial _{1}\omega _{1}(x,y),\partial _{1}\omega _{2}(x,y),...,\partial _{1}\omega _{n}(x,y))$

$\partial _{2}\omega (x,y)=(\partial _{2}\omega _{1}(x,y),\partial _{2}\omega _{2}(x,y),...,\partial _{2}\omega _{n}(x,y))$.

Näiden osittaisderivaattojen avulla voimme määritellä pinnan $\omega$ derivaatan. Pinnan $\omega$ derivaattafunktio on funktio $\omega ':D\rightarrow \lbrace M:M{\mbox{ on }}n\times 2-{\mbox{matriisi}}\rbrace$,

$\omega '(x,y)={\begin{bmatrix}\partial _{1}\omega _{1}(x,y)&\partial _{2}\omega _{1}(x,y)\\\partial _{1}\omega _{2}(x,y)&\partial _{2}\omega _{2}(x,y)\\\vdots &\vdots \\\partial _{1}\omega _{n}(x,y)&\partial _{2}\omega _{n}(x,y)\end{bmatrix}}$.

Derivaattafunktion kaavaa $\omega '(x,y)$ kutsumme lyhyesti derivaataksi pisteessä $(x,y)$. Lisäksi sanomme, että pinta on derivoituva jos sillä on olemassa derivaattafunktio (eli derivaatta jokaisessa D:n pisteessä).

Pinnan derivaatan hyöty näkyy esimerkiksi siinä, että jos $(x_{0},y_{0})\in D$, niin lineaarinen funktio $T:D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$,

$T(x,y)=\omega (x_{0},y_{0})+\omega '(x_{0},y_{0})(x-x_{0},y-y_{0})$,

on likimääräisesti sama kuin itse pinta $\omega$ pisteen $(x_{0},y_{0})$ läheisyydessä. Funktiota $T$ kutsutaan pinnan $\omega$ tangenttitasoksi pisteessä $(x_{0},y_{0})$.

$\mathbb {R} ^{3}$:n pintojen tärkeä sovellus on ns. pintaintegraali.

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.