Kimmomoduuli

(Ohjattu sivulta Youngin moduuli)
Jännitys, olipa se venyttävä tai puristava, aiheuttaa vähemmän jäykässä (kuvassa punainen) kappaleessa suuremman muodonmuutoksen kuin jäykässä (kuvassa sininen). Kimmomoduuli on aineen jäykkyyden mitta.

Kimmomoduuli eli Youngin moduuli on kiinteän aineen jäykkyyttä kuvaava fysikaalinen suure.[1] Se on kappaleeseen kohdistuvan jännityksen suhde sen aiheuttamaan kappaleen suhteelliseen pituuden muutokseen voiman suunnassa jännityksen ollessa sen verran pieni, että tämä pituuden muutos on suoraan verrannollinen jännitykseen.

TerminologiaMuokkaa

Nimi Youngin moduuli johtuu 1800-luvulla eläneestä brittiläisestä tiedemies Thomas Youngista, mutta käsitteen oli jo vuonna 1727 ottanut käyttöön Leonhard Euler. Ensimmäiset kokeet, joissa kimmomoduulin käsitettä nykyisessä muodossaan käytettiin hyväksi, teki italialainen Giordano Riccati vuonna 1782, 25 vuotta ennen kuin Young tutki asiaa.[2] Termi moduuli johtuu latinan sanasta modus, joka tarkoittaa mittaa.

Suomeksi kimmomoduulia sanotaan myös kimmokertoimeksi.[3] Tämä termi voi kuitenkin aiheuttaa sekaanusta, sillä ainakin aikaisemmin kimmokertoimella on tarkoitettu myös kimmomoduulin käänteisarvoa, venymän suhdetta venyttävään voimaan.[4][5] Sama merkitys on ollut kimmokerrointa vastaavalla termillä myös ranskan ja saksan kielissä, mutta skandinaavisissa kielissä sekä elasticitetskoefficient ("kimmokerroin") että elasticitetsmodul ("kimmomoduuli") ovat molemmat jo vanhastaan tarkoittaneet kimmomoduulia.

MääritelmäMuokkaa

Lineaarinen kimmoisuusMuokkaa

Kiinteässä materiaalissa tapahtuu kimmoinen deformaatio, kun siihen kohdistuu pieni kuormitus, joka puristaa tai venyttää sitä. Kimmoinen deformaatio on palautuva eli reversiibeli, toisin sanoen kappale palautuu alkuperäiseen muotoonsa kuormituksen poistuttua.

Kun jännitys ja venymä ovat tarpeeksi pieniä, venymä on Hooken lain mukaan käytännöllisesti katsoen suoraan verrannollinen jännitykseen, eli tällä alueella venymää jännityksen funktiona esittävä käyrä on suora. Kappaleeseen kohdistuvan jännityksen ja sen aiheuttaman suhteellisen venymän suhde on siis vakio, ja tätä vakiota sanotaan materiaalin kimmomoduuliksi eli Youngin moduuliksi. Youngin moduuli E on siis

 [1] tai
 [3]

missä F on venyttävä voima, A kappaleen poikkipinta-ala, σ kappaleeseen kohdistuva jännitys eli voima pinta-alayksikköä kohti, l sen pituus, kun jännitystä ei ole, ja   pituuden muutos. Mitä suurempi tämä moduuli on, sitä suurempi jännitys tarvitaan saamaan aikaan tietyinen suuruinen venymä. Ideaalisen jäykän kappaleen kimmomoduuli olisi ääretön.

Kimmomoduulin määritelmästä seuraa, että sen dimensio on sama kuin jännityksen ja myös sama kuin paineen, sillä sekä jännitys että paine määritellän voimana pinta-alayksikköä kohti. Tämän vuoksi SI-järjestelmässä kimmomoduulin yksikkökin on sama kuin paineen, pascal.[1] Useimpien materiaalien kimmomoduulit ovat kuitenkin niin suuria, että tavallisimmin yksikkönä käytetään mega- tai gigapascalia. Aikaisemmin yksikkönä käytettiin tavallisimmin kilopondia neliömillimetriä kohti (kp/mm2.[3]

Kimmomoduuli ja muut materiaalin ominaisuudetMuokkaa

 
Tyypillinen metallin jännitys-venymäkäyrä. Vaaka-akselilla suhteellinen venymä, pystyakselilla jännitys. Vasemmalla verrannollisuusalue, jossa Hooken laki pätee; tällä alueella käyrän kulmakerroin osoittaa metallin kimmomoduulin. Alueella 2 venyttämisen aiheuttama muodonmuutos jää pysyväksi. Käyrän korkein kohtaosoittaa metallin murtolujuuden. Käyrä päättyy oikealla pisteeseen, jossa sauva katkeaa. Metallin sitkeyttä kuvaa käyrän alle jäävän alueen pinta-ala.[1]

Materiaalin jäykkyyttä, jota kimmomoduuli kuvaa, ei tule sekoittaa seuraaviin ominaisuuksiin:

  • lujuus, eli paljonko materiaali kestää kuormitusta murtumatta;
  • sitkeys, eli kuinka paljon energiaa materiaalista valmistetun kappaleen hajottaminen vaatii (vastakohta: hauraus);
  • kovuus, eli materiaalin kyky vastustaa hankauksesta aiheutuvaa naarmuuntumista ja kulumista.[1]

KäyttöMuokkaa

Kimmomoduulin avulla voidaan laskea isotrooppisesta kimmoisesta materiaalista tehdyn sauvan pituuden muutos, kun siihen kohdistuu venyttävä tai puristava jännitys. Toisin sanoen se ilmoittaa, minkä verran kappale pitenee venytettäessä tai lyhenee puristettaessa. Youngin moduulia voidaan sellaisenaan soveltaa yksiakselisiin jännityksiin, jotka vaikuttavat vain yhteen suuntaan. Sen avulla voidaan myös laskea, minkä verran luja palkki käyristyy, kun sen päälle asetetaan kuorma johonkin kohtaan tukipisteiden välille. Muut kimmoisuutta koskevat laskelmat yleensä edellyttävät muidenkin elastisten kertoimien kuten liukumoduulin, puristusmoduulin tai Poissonin suhteen käyttöä. Mitkä tahansa kaksi näistä parametreista kuitenkin riittävät täysin määrittämään isotrooppisen materiaalin kimmoisuusominaisuudet.

Lineaariset ja epälineaariset materiaalitMuokkaa

Kimmomoduuli on Hooken lakiin kuuluva verrannollisuuskerroin, joka yhdistää jännityksen ja venymän. Hooken laki kuitenkin pätee vain, jos jännityksen vaikutus on kimmoinen ja lineaarinen. Kyllin pitkäksi tai kyllin suurella voimalla venytettynä mistä tahansa materiaalista tehty sauva lopulta murtuu tai katkeaa; tarpeeksi pienillä jännityksillä ja venymillä kaikki kiinteät aineet kuitenkin käyttäytyvät ainakin likipitäen Hooken lain mukaisesti. Jos alue, jossa Hooken laki pätee, on tarpeeksi laaja verrattuna tyypillisiin jännityksiin, jotka materiaaliin voidaan olettaa kohdistuvan, materiaalia sanotaan lineaariseksi. Muussa tapauksessa, kun jännitys tyyppillisesti ylittää lineaarisuusalueen, materiaalia sanotaan epälineaariseksi.

Muun muassa terästä, hiilikuitua ja lasia pidetään yleensä lineaarisina, kun taas esimerkiksi kumi ja maa-ainekset ovat epälineaarisia. Tämä ei kuitenkaan ole absoluuttinen luokitus: jos epälineaariseen materiaaliin kohdistuu vain hyvin pieni jännitys, sen vaikutus on lineaarinen, mutta tarpeeksi suuren jännityksen vaikutukset eivät lineaarisissakaan materiaaleissa ole lineaarisen teorian mukaisia. Lineaarinen teoria edellyttää esimerkiksi, että muodonmuutokset ovat palautuvia (reversiibelejä) ja näin ollen olisi järjetöntä käyttää lineaarista teoriaa kuvaamaan ylikuormitetun terässillan romahtamista; vaikka terästä voidaan useimmissa sovelluksissa pitää lineaarisena materiaalina, sekään ei ole sellainen enää katastrofaalisen romahduksen tapahtuessa.

Kiinteiden aineiden mekaniikassa jännitys-venymäkäyrän kulmakerrointa missä tahansa pisteessä sanotaan tangenttimoduuliksi. Se voidaan kokeellisesti määrittää vetokokeella saadun jännitys-venymäkäyrän kaltevuudesta.

Epäisotrooppiset materiaalitMuokkaa

Useimmat metallit, keraamit ja monet muutkin materiaalit ovat isotrooppisia eli niiden mekaaniset ominaisuudet eivät riipu suunnasta. Samoin ei kuitenkaan ole kaikkien materiaalien laita. Sopivilla epäpuhtauksilla metallit ja keraamitkin voidaan saada epäisotrooppisiksi, jolloin niiden ominaisuudet, myös kimmomoduuli, riippuvat vaikuttavan voiman suunnasta.[6]. Anistropiaa esiintyy myös monilla komposiiteilla. Esimerkiksi hiilikuidulla on paljon suurempi kimmomoduuli eli se on paljon jäykempää, jos venyttävä voima vaikuttaa kuidun pituussuunnassa. Selvästi epäisotrooppisia aineita ovat myös puu ja teräsbetoni. Niiden suunnasta riippuvia ominaisuuksia käytetäänkin hyväksi rakennustöissä.

LaskentaMuokkaa

Kimmomoduuli 'E voidaa laskea, kun tunnetaan kappaleeseen kohdistuva jännitys   ja sen aikaansaama venymä  , edellyttäen, että ollaan jännitys-venymä-käyrän lineaasisella osuudella:

 

where

E on kimmomoduuli (Youngin moduuli)
F jännityksen alaiseen kappaleeseen kohdistuva voima;
A on kappaleen poikkipinta-ala siihen kohdistuvaan voimaan nähden kohtisuorassa suunnassa;
ΔL on kappaleen pituuden muutos (positiivinen, jos kappale venyy, ja negatiivinen, jos se puristuu kokoon); ja
L0 on kappaleen alkuperäinen pituus.

Venytettyyn tai puristettuun materiaaliin kohdistuva voimaMuokkaa

Materiaalin Youngin moduulin avulla voidaan laskea voima, jonka se kokee tietyn suuruisen jännityksen alaisena.

 

missä F on kappaleeseen kohdistuva voima, kun sitä on puristettu kokoon tai venytetty pituuden   verran.

Hooken laki jännitetylle langalle voidaan johtaa tästä kaavasta:

 

sen tullessa kyllästyspisteeseen

  and  

On kuitenkin huomattava, että kierrejousten kimmoisuus liittyy niiden liukumoduuliin, ei Youngin moduuliin.

Kimmoinen potentiaalienergiaMuokkaa

Lineaariseen kommoiseen materiaaliin varastoitunut kimmoinen potentiaalienergia voidaan laskea integroimalla Hooken laki:

 

missä esiintyuvät intensiivisuureet ovat:

 

Näin ollen kimmoisen potentiaalienergian tiheys, tilavuusyksikköä kohti, on:

 

tai yksinkertaisemmin ilmaistuna, lineraariselle kimmoiselle materiaalille pätee:  , sillä venymän määrittelee  .

Epälineaarisen kimmoisen materiaalin kimmomoduuli riippuu venymästä, minkä vuoksi jälkimmäinen yhtälö ei päde eikä kimmoinen energia ole venymän neliöllinen funktio:

 

Kimmomoduuli ja muut elastiset kertoimetMuokkaa

Homogeenisten ja isotrooppisten materiaalien kimmoisuusominaisuuksia kuvaa kolme elastista kertointa: kimmomoduuli E, liukumoduuli G ja puristusmoduuli K, sekä Poissonin suhde. Jos näistä suureista kaksi tunnetaan, kaksi muutakin voidaan laskea seuraavien yhteyksien avulla:

 

Kimmomoduuli ja atomien väliset voimatMuokkaa

Viime kädessä materiaalien kimmoisuusominaisuudet johtuvat atomien välisistä sidosvoimista. Metallien tapauksessa kyseessä on metallisidos. Niiden kimmomoduuleille voidaan johtaa karkea likiarvo atomien välisen etäisyyden ja siihen liittyvän potentiaalienergian avulla.[7]

Tyypillisesti kahden atomin muodostaman systeemin potentiaalienergia kasvaa suunnilleen yhden elektronivoltin verran, kun ne siirretään noin 0,1 nanometrin eli yhden ångströmin verran kauemmaksi tasapainoasemasta. Olkoon δ a poikkeama tasapainoasemasta. Tällöin systeemin potentiaalienergia on

 ,

missä K = 2 eV / 0,1 nm = 1,6 · 10-19 J / (10-9 m)2 = 32 J/m2 = 32 N/m.

Tämä liittyy suoraan makroskooppiseen kimmomoduuliin, jos venymä on kidehilan jonkin perussuunnan suuntainen. Saadaan:

 

Kun atomien välinen etäisyys kiinteissä aineissa on tyypillisesti noin 3 Å = 3 ·10-10 m, saadaan tästä kimmomoduulille karkea arvo

 .

Monien metallien kimmomoduuli onkin suunnilleen tätä suuruusluokkaa.

LämpötilariippuvuusMuokkaa

Yleensä metallien kimmomoduuli pienenee lämpötilan kasvaessa. Metallien kimmomoduuli riippuu lämpötilasta. Koska se liittyy atomien välisiin sidosvoimiin, sen muutokset riippuvat metallin työfunktion muutoksista. Tätä on yritetty kuvailla klassisestikin muun muassa Watchmanin kaavalla. Rahemi-Lin malli[8] osoittaa, kuinka muutos elektronin työfunktiossa johtaa metallien kimmomoduulien muutoksiin ja mahdollistaa tämän muutoksen ennustamisen laskettavissa olevien parametrien avulla kyttäen Lennardin-Jonesin potentiaalia kiinteille aineille. Yleensä lämpötilan kasvaessa metallin kimmomoduuli pienenee suhteessa   Kun elektronin työfunktio riippuu lämpötilasta yhtälön   mukaisesti ja   on laskettavissa oleva, kiderakenteesta (esimerkiksi pinta- tai tilakeskeinen kuutiollinen) riippuva parametri,   on elektronin työfunktio absoluuttisessa nollapisteessä ja   on vakio.

Eräiden materiaalien kimmomoduulejaMuokkaa

Materiaalien kimmomoduulit riippuvat herkästi niiden koostumuksesta, ja samallekin materiaalille voidaan eri koemenetelmillä saada toisistaan poikkeavia arvoja. Tämän vuoksi eri lähteissä saatetaan samallekin materiaalille ilmoittaa eri suuruisia kimmomoduuleja.

Eräiden materiaalien likimääräisiä kimmomoduuleja
Materiaali Kimmomoduuli
GPa
Kautsu, luonnonkumi <0,05[9]
Polyeteeni, pieni tiheys[10] 0,110–0,449
Piilevät (suurelta osin piidioksidia)[11] 0,35–2,77
Teflon (polytetrafluorieteeni) 0,4[12]
korkeapainepolyeteeni 0,8
Bakteriofagiset kapsidit[13] 1–3
Polypropeeni 0,4–1,3[9]
Polykarbonaatti 2–2,4
Polyetyleenitereftalaatti (PET) 2–2,7[12]
Nailon 2–4
Polystyreeni 2–4[9]
Polyureaani, vaahtomuovi 0,00025[9]
Puu (syiden suunnassa) 10–15[9]
Ihmisen luut[14] 14
Luja betoni 10–40[9]
Hamppukuitu[15] 35
Magnesium metalli (Mg) 45[9]
Kalustelasi 40–90[9]
Kvartsilasi 60[9]
Pleksilasi 2,7–3,2[9]
Pellavakuitu[16] 58
Alumiini 70[9]
Helmiäinen, pääasiassa kalsiumkarbonaattia[17] 70
Pronssi 108–124[9]
Messinki 78–123[9]
Titaani (Ti) 110[9]
Titaaniseokset 105–120[12]
Kupari (Cu) 124[9]
Pii (Si) 100[9]
Takorauta 213[9]
Teräs (ASTM-A36) 210[9]
Beryllium (Be)[18] 287
Molybdeeni (Mo) 325[9]
Volframi (W) 400–410[12]
Piikarbidi (SiC) 450[12]
Volframikarbidi (WC) 450–650[12]
Osmium (Os) 525–562[19]
Hiilinanokuitu 1,000+[20][21]
Grafeeni (C) 1050[22]
Timantti (C) 1220[12]
Karbyyni (lineaarinen asetyleeninen hiili) [23] 32100[24]
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Young's modulus

LähteetMuokkaa

  1. a b c d e Mikko Hautala, Hannu Peltonen: ”Normaalijännitys, Hooken laki”, Insinöörin (AMK) fysiikka, osa I, s. 143-146. Lahden Teho-Opetus Oy, 2005. ISBN 052-5191-17-6.
  2. The Rational mechanics of Flexible or Elastic Bodies, 1638–1788: Introduction to Leonhardi Euleri Opera Omnia, vol. X and XI, Seriei Secundae. Orell Fussli.
  3. a b c K. V. Laurikainen: ”Kimmoisuus”, Lukion fysiikka I, s. 61–62. WSOY, 1972. ISBN 951-0-00557-6.
  4. ”Kimmokerroin, kimmomoduuli”, Nykysuomen sanakirja, 1. osa (A–K), 11. painos, s. 378. Suomalaisen kirjallisuuden seura, WSOY, 1989. ISBN 951-0-09206-1.
  5. ”Kimmoisuus”, Tietosanakirja, 4. osa (Kaivo-Kulttuurikieli), s. 916–917. Tietosanakirja Oy, 1913. Teoksen verkkoversio.
  6. V. A. Gorodtsov, D. S. Lisovenko: Extreme values of Young's modulus and Poisson's ratio of hexagonal crystals. Mechanics of Materials, {{{Vuosi}}}, 134. vsk, s. 1–8. doi:10.1016/j.mechmat.2019.03.017. (englanniksi)
  7. H. E. Hall: ”Lattice vibrations”, Solid State Physics, s. 48–49. John Wiley & Sons Ltd., 1974. ISBN 0-471-34281-5.
  8. Reza RAhemi, Li Dongyang: Variation in electron work function with temperature and its effect on the Young's modulus of metals. Scripta Materialia, Huhtikuu 2015, 99. vsk, nro 2015, s. 41–44. doi:10.1016/j.scriptamat.2014.11.022.
  9. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s Esko Valtanen: ”Kimmokerroin, liukukerroin, puristuvuuskerroin ja Poissonin luku”, Matemaattisia kaavoja ja taulukoita, s. 405–406. Genesis-kirjat, 2013. ISBN 978-952-9867-37-0.
  10. Overview of materials for Low Density Polyethylene (LDPE), Molded Matweb. Viitattu 12.3.2020.
  11. G. Subharh, S. Yao, B. Bellinger, MR Gretz: Journal of Nanoscience and Nanotechnology, 2005, 5. vsk, nro 1, s. 50–56. doi:10.1166/jnn.2005.006.
  12. a b c d e f g Young's Modulus - Tensile and Yield Strength for common Materials The Engineering Toolbox. Viitattu 12.3.2020.
  13. IL Ivanovska, PJ de Pablo, G Sgalari, FC MacKintosh, JL Carrascosa, CF Schmidt, GJ Wuite: Bacteriophage capsids: Tough nanoshells with complex elastic properties. Proc Natl Acad Sci USA, 2004, 101. vsk, nro 20, s. 7600–5. doi:10.1073/pnas.0308198101.
  14. JY Rho: Young's modulus of trabecular and cortical bone material: ultrasonic and microtensile measurements. Journal of Biomechanics, 1993, 26. vsk, nro 2, s. 111–119. doi:10.1016/0021-9290(93)90042-d.
  15. D. Nabi Saheb, JP. JOg: Natural fibre polymer composites: a review. Advances in Polymer Technology, 1999, 18. vsk, nro 4, s. 351–363. [10.1002/(SICI)1098-2329(199924)18:4<351::AID-ADV6>3.0.CO;2-X Artikkelin verkkoversio].
  16. E. Bodros: Analysis of the flax fibres tensile behaviour and analysis of the tensile stiffness increase. Composite Part A, 2002, 33. vsk, nro 7, s. 939–948. doi:10.1016/S1359-835X(02)00040-4.
  17. A. P. Jackson: The Mechanical Design of Nacre. Proceedings of the Royal Society, 1988, nro 234, s. 415–440. doi:10.1098/rspb.1988.0056.
  18. James C. Foley, Stephen P. Abeln, Paul W. Stanek, Brian D. Bartran, Beverly Aikin: ”An Overview of Current Research and Industrial Practices of Be Powder Metallurgy”, Powder Materials: Current Research and Industrial Practices III, s. 263. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, Inc., 2010. ISBN 9781118984239. doi:10.1002/9781118984239.ch32.
  19. D. K. Pandey, D. Singh, P. K. Yadawa: Ultrasonic Study of Osmium and Ruthenium. Platinum Metals Rev., 2009, nro 53, s. 91–97. doi:10.1595/147106709X430927. Artikkelin verkkoversio.
  20. L. Forro, W. Z: Li: Electronic and mechanical properties of carbon nanotubes ipn2.epfl.ch. Viitattu 12.3.2020.
  21. Y. H. Yang: Radial elasticity of single-walled carbon nanotube measured by atomic force microscopy. Applied Physics Letters, 2011, 98. vsk, nro 4. doi:10.1063/1.3546170.
  22. Fang Liu, Pingbing Ming, Ju Li: Ab initio calculation of ideal strength and phonon instability of graphene under tension li.mit.edu.
  23. Nancy Owano: Carbyne is stronger than any known material phys.org. Viitattu 12.3.2020.
  24. Liu Mingjie, Vasilii I Artyukhov, Lee Hoonkyung, Xu Fangbo, Boris I Yakobson: Carbyne From First Principles: Chain of C Atoms, a Nanorod or a Nanorope?. ACN Nano, 2013, 7. vsk, nro 11, s. 10075–10082. doi:10.1021/nn404177r.

Katso myösMuokkaa