Avaa päävalikko

Joukko-opissa, von Neumann universumi tai von Neumann joukkohierarkia on luokka perinnöllisiä, hyvinperusteltuja joukkoja. Tämä kokoelma, joka on formalisoitu Zermelo-Fraenkel joukko-opissa (ZFC), on käytetty toimittaa tulkinta ZFC:n aksiomeista.

Hyvinperusteltujen joukkojen arvoasema määritellään induktiivisesti pienimmäksi ordinaali numeroksi joka on suurempi kuin kaikkien sisältävien joukkojen arvoasemat.[1] Eli tyhjän joukon arvoasema on nolla ja jokaisella ordinaalilla on arvoasema yhtä suuri kuin itse. Joukot V:ssä on jaettu transfiniitti hierarkiaan, joukkojen arvoaseman perusteella, jota kutsutaan kumulatiiviseksi hierarkiaksi.

MääritelmäMuokkaa

Kumulatiivinen hierarkia on kokoelma joukkoja Vα indeksoitu ordinaali numeroilla. Tarkennettuna, Vα on joukko kaikista joukoista joilla on arvoasema pienempi kuin α. Joten on vain yksi Vα jokaiselle ordinaali numerolle. Vα voidaan määritellä tranfiniitisellä rekursiolla:

 

 

 

Ratkaiseva asia tässä määritelmässä on että vain yksi yhtälö φ(α,x) ZFN:n kielessä määrittää "joukko x on Vα:ssä".

Joukkoja Vα kutsutaan arvoasemoiksi.

Luokka V määritelty olevan kaikkien V-arvoasemoiden yhdiste:

 

Vastaava määritelmä pistää

 

jokaiselle ordinaalille α, missä   on  :n potenssijoukko.

Joukko S:n arvoasema on pienin α jotta  .

Rajallinen ja matalat kardinaali arvoasemat hierarkiassaMuokkaa

Ensimmäiset viisi von Neumann arvoasemat V0:sta V4:hen voidaan havainnollistaa näin. (Tyhjä laatikko esittää tyhjää joukkoa. Laatikko joka sisältää vain tyhjän laatikon esittää joukkoa joka vain sisältää tyhjän joukon, jne.)

Joukko V5 sisältää 216 = 65536 joukkoa ja V6 sisältää 265536 joukkoa, joka ylittää huomattavasti atomien määrän tunnetussa universumissa.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Mirimanoff 1917
    Moore 2013, s. 261-262
    Rubin 1967, s. 214