Transkendenttifunktio

Transkendenttifunktio eli transkendenttinen funktio on matematiikassa analyyttinen funktio, joka ei ole algebrallinen. Toisin sanoen analyyttinen funktio f on transkendenttinen, jos se ei toteuta mitään muotoa toteuta mitään polynomiyhtälöä $P(f(x),x)=0$ .^[1]

Transkendenttisiä funktiota ovat esimerkiksi eksponenttifunktio, logaritmi ja trigonometriset funktiot.

Määritelmä muokkaa

Muodollisen määritelmän mukaan yhden reaali- tai kompleskimuuttujan funktio f(z) on transkendenttinen, jos se on algebrallisesti riippumaton tästä muuttujasta.^[2] Tämä määritelmä voidaan laajentaa useamman muuttujan funktioihin.

Historia muokkaa

Transkendenttisista funktioista tulivat trigonometriset funktiot ensimmäisinä tunnetuiksi. Vanhalla ajalla niitä käytettiin ennen kaikkea tähtitieteessä. Hipparkhos (190–127 eKr.) laati mittauksiin perustuvan taulukon ympyrän erisuuria kaaria vastaavien jänteiden pituuksista^[3] eli itse asiassa taulukon funktion $f(x)=2\sin {\frac {x}{2}}$ arvoista. Taulukkoa tarkensi myöhemmin Ptolemaios^[3] Nykyisellä tavalla määritellyn sinifunktion arvot taulukoitiin Intiassa 400-luvulla.^[3] 1700-luvulla Jakob Bernoulli ja varsinkin Leonhard Euler tutkivat näitä funktioita tarkemmin, niin että ne voitiin määritellä puhtaasti matemaattisen [[analyysi (matematiikka)|analyysin keinoin geometriasta riippumatta.^[3]

Vuonna 1647 Grégoire de Saint-Vincent otti käyttöön uuden funktion, logaritmin, jonka avulla voitiin määrittää hyperbelin xy = 1, x-akselin ja kahden y-akselin suuntaisen suoran välisen alueen pinta-ala. Tämä tapahtui noin kaksituhatta vuotta sen jälkeen, kun Arkhimedes oli määrittänyt paraabelin ja sitä leikkaavan suoran välisen alueen pinta-alan. Saint-Vincentin määrittelemällä funktiolla oli kuitenkin vain vähän muuta käyttöä, ennen kuin Euler vuonna 1748 otti käyttöön funktion, jossa vakio korotetaan muuttuvan eksponentin osoittamaan potenssiin. Kun täksi vakioksi valittiin Neperin luku e, Saint-Vincentin määrittelemä logaritimifunktio osoittautui tämän ekxponenttifunktion käänteisfunktioksi.

Eksponenttifunktiolle käytetään merkintää $\exp(x)=e^{x}$ . Euler samasti sen [[päättymätön sarja|päättymättömän sarjan ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$ kanssa, missä k! tarkoittaa k:n kertomaa.

Jos tästä sarjasta otetaan huomioon joko vain parilliset tai vain parittomat termit, saadaan edellisessä tapauksessa hyperbolinen kosini cosh(x), jälkimmäisessä tapauksessa hyperbolinen sini sinh(x), joiden summa on $e^{x}=\cosh x+\sinh x$ .}} Nämä hyperboliset funktiot ovat myös transkendenttisia. Trigonometriset funktiot saadaan niistä kertomalla sarjan jokainen termi kertoimella (−1)^k, jolloin sarjasta tulee vuorotteleva. Eulerista lähtien matemaatikot ovat käsittäneet sinin ja kosinin tällä tavoin, jolloin niiden transkendenttisuus kytkeytyy logaritmi- ja eksponenttifunktioon. Tätä kuvastaa erityisesti Eulerin kaava $e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\,$ , jonka avulla eksponenttifunktio voidaan laajentaa kompleksilukujen joukkoon.

Esimerkkejä muokkaa

Esimerkiksi seuraavat funktiot ovat transkendenttisia:

$f(x)=x^{\pi }$
$f(x)=c^{x}$
$f(x)=x^{x}$
$f(x)=x^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{x}}$
$f(x)=\log _{c}x$
$f(x)=\sin {x}$

Jos näistä toisessa asetetaan $c$ :n arvoksi Neperin luku $e$ , todetaan, että $e^{x}$ on transkendenttinen funktio. Samoin jos viidennessä yhtälössä asetetaan $c$ :n arvoksi $e$ , saadaan luonnollinen logaritmifunktio $\ln {x}$ , joka on myös transkendenttinen.

Algebralliset ja transkendenttiset funktiot muokkaa

Tunnetuimmat transkendenttiset funktiot ovat logaritmi, eksponenttifunktio, trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot ja näiden käänteisfunktiot. Näitä sanotaan transkendenttisiksi alkeisfunktioiksi.^[1]

Muita traskendenttifunktioita, joita ei lueta alkeisfunktioiden joukkoon, ovat gammafunktio, elliptiset funktiot ja zeta-funktio. Yleistetty hypergeometrinen funktio ja Besselin funktio ovat myös yleensä transkendenttisia, mutta joillakin parametrien arvoilla algebrallisia.

Funktio, joka ei ole transkendenttinen, on 'algebrallinen Sellaisia ovat esimerkiksi rationaalifunktiot ja neliöjuuri, mutta Abelin–Ruffinin lauseesta seuraa, ettei kaikkia algebrallisia funktioitakaan voida esittää peruslaskutoimitusten ja juurenottojen avulla muodostettuina lausekkeina.

Monien algebrallistenkin funktioiden integraalifunktio on transkendenttinen. Esimerkiksi funktion 1/x integraalifunktio on luonnollinen logaritmifunktio ln x.

Differentiaalialgebra tutkii, miten integrointi usein johtaa funktioihin, jotka ovat algebrallisesti riippumattomia jostakin luokasta, esimerkiksi kun muuttujana käytetään trigonometristen funktioiden polynomeja.

Transkendentaalisesti transkendenttiset funktiot muokkaa

Useimmat tunnetuimmat transkendenttifunktiot, myös matemaattisessa fysiikassa esiintyvät erikoisfunktiot, ovat algebrallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja. On kuitenkin myös funktioita, jotka eivät toteuta mitään sellaista yhtälöä. Sellaisia ovat esimerkiksi gammafunktio ja Riemannin zeeta-funktio. Niitä sanotaan transkendentaalisesti transkendentaalisiksi eli hypertranskendenttisiksi funktioiksi.^[4]

Poikkeusjoukko muokkaa

Jos $f$ on algebrallinen funktio ja $\alpha$ algebrallinen luku, myös $f(\alpha )$ on algebrallinen luku. Kääntäen ei kuitenkaan päde: algebrallista lukua $\alpha$ vastaava funktio $f(\alpha )$ saattaa olla algebrallinen luku, vaikka funktio f olisikin transkendenttinen. On jopa olemassa kokonaisia transkendenttisia funktiota $f$ , joilla $f(\alpha )$ on algebrallinen jokaisella algebrallisella luvulla $\alpha .$ ^[5] Jos f on transkendenttinen funktio, sanotaan niiden algebrallisten lukujen $\alpha$ joukkoa, joita vastaava funktion arvo $f(\alpha )$ on algebrallinen, sanotaan tämän funktion poikkeusjoukoksi.^[6]^[7] Muodollisesti se määritellään seuraavasti:

{\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbf {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbf {Q} }}\right\}.

Monissa tapauksissa poikkeusjoukko on varsin pieni. Esimerkiksi Ferdinand von Lindemann todisti vuonna 1882, että eksponenttifunktion $e^{x}$ poikkeusjoukkoon kuuluu vain nolla eli ${\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},$ . Koska erityisesti $\exp {(i\pi )}=-1$ , seuraa tästä, että iπ ei ole algebrallinen luku. Koska i on algebrallinen, on π transkendenttiluku.

Yleensä funktion poikkeusjoukon löytäminen on vaikea tehtävä, mutta jos se voidaan suorittaa, se voi usein johtaa transkendenttilukujen teorian kannalta merkittäviin tuloksiin. Seuraavassa on muutamien muiden funktioiden tunnettuja poikkeusjoukkoja:

Kleinin j-invariantti ${\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in \mathbf {H} \,:\,[\mathbf {Q} (\alpha ):\mathbf {Q} ]=2\right\},$ missä H on ylempi puolitaso ja [Q(α): Q] on lukukunnan Q(α) aste. Tämän osoitti Theodor Schneider.^[8]
2-kantainen eksponenttifunktio: ${\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbf {Q} ,$ Tämä seuraa Geofondin–Schneiderin lauseesta, jonka mukaan jos $\alpha \neq 0,1$ on algebrallinen ja $\beta$ algebrallinen ja irrationaalinen, on $\alpha ^{\beta }$ transkendenttinen. Näin ollen $\mathbf {Q}$ on myös jokaisen funktion c^x poikkeusjoukko, kun c on mikä tahansa algebrallinen luku, ei kuitenkaan 0 eikä 1.
Edellisestä seuraa myös, että ${\mathcal {E}}(x^{x})={\mathcal {E}}\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbf {Q} \setminus \{0\}.$
Mikäli Schanuelin konjektuuri transkendenttilukujen teoriassa on tosi, siitä seuraa, että ${\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset$
Voidaan osoittaa, että Schanuelin konjektuurista riippumattakin ${\mathcal {E}}\left(\exp(1+\pi x)\right)=\emptyset$ .

Vaikka poikkeusjoukon muodostaminen annetulle funktiolle ei ole helppoa, on kuitenkin todistettu, että algebrallisten lukujen joukon jokainen osajoukko on jonkin transkendenttisen funktion poikkeusjoukko.^[9] Erityisesti myös algebrallisten lukujen joukko itse on jonkin funktion poikkeusjoukko, toisin sanoen on olemassa transkendenttinen funktio, jotka saavat arvokseen transkendenttiluvun vain, kun sen argumentti on transkendenttiluku. Alex Wilkie todisti myös, että on olemassa transkendenttisia funktioita, joita ei voi ensimmäinen asteen logiikkaan perustuvilla todistuksilla sellaisiksi osoittaa, ja muodosti esimerkin sellaisesta analyyttisestä funktiosta.^[10]

Dimensioanalyysi muokkaa

Dimensioanalyysissa transkendenttisilla funktioilla on merkittävä sija, sillä ne on määritelty vain, kun argumentti on dimensioton. (Monissa tapauksissa, esimerkiksi eri yhteyksissä käytettyjen logaritmisten asteikkojen määritelmissä, tällaisen funktion argumenttina esiintyvä suure saadaan dimensiottomaksi jakamalla se jollakin vakiolla, joka on samaa dimensiota kuin varsinainen suure itse.) Matemaattisessa lausekkeessa mahdollisesti esiintyvä dimensiovirhe voidaankin usein helposti todeta lausekkeessa esiintyvien transkendenttifunktioiden avulla. Esimerkiksi log(5 metres) ei ole mielekäs merkintä, toisin kuin log(5 metres / 3 metres) tai myös log(3) metres. Jos tällaiseen lausekkeeseen sovelletaan logaritmien laskusääntöjä, saadaan log(5) + log(metres), mikä korostaa lausekkeen virheellisyyttä erityisen selvästi: ei-algebrallisen toimituksen kohdistaminen dimensioon ei ole mielekästä.

Käännös suomeksi

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Transcendental function

Lähteet muokkaa

↑ ^a ^b Lauri Myrberg: ”Transkendenttisiä alkeisfunktioita, johdanto”, Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1, s. 144. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.
↑ M. Waldschmirt: Diophantine approximation on linear algebraic groups. Springer, 2000. Teoksen verkkoversio.
↑ ^a ^b ^c ^d ”Trigonometria”, Otavan suuri ensyklopedia, 9. osa (Sukunimi–Turbiini), s. 7246. Otava, 1981. ISBN 951-1-05957-2.
↑ Lee A. Rubel: A Survey of Transcendentally Transcendental Functions. The American Mathematical Monthly, {{{Vuosi}}}, 96. vsk, nro 9, s. 777–788. doi:10.1080/00029890.1989.11972282.
↑ A. J. van der Poorten: Transcendental entire functions mapping every algebraic number field into itself. J. Austral. Math. Soc., 1968, nro 8, s. 192–198. Artikkelin verkkoversio.
↑ Some transcendental functions that yield transcendental values for every algebraic entry Cornell University. Viitattu 19.7.2022.
↑ N. Archinard: Exceptional sets of hypergeometric series. Journal of Number Theory, 2003, 101. vsk, nro 2, s. 244–269. Artikkelin verkkoversio.
↑ Theodor Schneider: Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale. Math. Annalen, 1937, nro 113, s. 1–13.
↑ M. Waldschmidt: Auxiliary functions in transcendental number theory. The Ramanujan Journal, 2009, 20. vsk, nro 3, s. 341–373. Artikkelin verkkoversio.
↑ Alex Wilkie: An algebraically conservative, transcendental function. Paris VII preprints, 1998, nro 66.

Katso myös muokkaa

[Myrberg-1] Lauri Myrberg: ”Transkendenttisiä alkeisfunktioita, johdanto”, Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1, s. 144. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.

[2] M. Waldschmirt: Diophantine approximation on linear algebraic groups. Springer, 2000. Teoksen verkkoversio.

[Ensy-3] ”Trigonometria”, Otavan suuri ensyklopedia, 9. osa (Sukunimi–Turbiini), s. 7246. Otava, 1981. ISBN 951-1-05957-2.

[4] Lee A. Rubel: A Survey of Transcendentally Transcendental Functions. The American Mathematical Monthly, {{{Vuosi}}}, 96. vsk, nro 9, s. 777–788. doi:10.1080/00029890.1989.11972282.

[5] A. J. van der Poorten: Transcendental entire functions mapping every algebraic number field into itself. J. Austral. Math. Soc., 1968, nro 8, s. 192–198. Artikkelin verkkoversio.

[6] Some transcendental functions that yield transcendental values for every algebraic entry Cornell University. Viitattu 19.7.2022.

[7] N. Archinard: Exceptional sets of hypergeometric series. Journal of Number Theory, 2003, 101. vsk, nro 2, s. 244–269. Artikkelin verkkoversio.

[8] Theodor Schneider: Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale. Math. Annalen, 1937, nro 113, s. 1–13.

[9] M. Waldschmidt: Auxiliary functions in transcendental number theory. The Ramanujan Journal, 2009, 20. vsk, nro 3, s. 341–373. Artikkelin verkkoversio.

[10] Alex Wilkie: An algebraically conservative, transcendental function. Paris VII preprints, 1998, nro 66.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]