Wronskin determinantti

Matematiikassa Wronskin determinantilla tarkoitetaan determinanttia, jonka kehitti Józef Maria Hoene-Wroński ja nimesi Thomas Muir. Sitä käytetään esimerkiksi differentiaaliyhtälölaskennassa, jossa sen avulla voidaan tarkastella yhtälön ratkaisujen lineaarista riippumattomuutta.

Määritelmä

Kahden funktion f ja g Wronskin determinantti on W(f, g) = fg′ – gf ′.

Yleisemmin n:lle reaaliluku- tai kompleksilukukertoimiselle funktiolle f₁, ..., f_n, jotka ovat n − 1 kertaa derivoituvia välillä I, muodostetaan Wronskin determinantti W(f₁, ..., f_n) seuraavasti

$W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}},\qquad x\in I.$

Toisin sanoen Wronskin determinanttia muodostettaessa kootaan aluksi matriisi, jossa funktiot järjestetään matriisin ensimmäiseksi riviksi, kukin omaksi alkiokseen. Matriisin toiselle riville taas järjestetään sarakkeittain aina ensimmäinen derivaatta kustakin ensimmäisen rivin funktiosta. Samoin mahdolliselle kolmannelle riville järjestetään sarakkeittain ensimmäisen rivin funktioiden toinen derivaatta ja lopulta n:nelle riville ensimmäisen rivin funktion n­-1:s derivaatta. Näin sekä rivejä että sarakkeita on n kappaletta ja saadaan aikaan neliömatriisi, josta voidaan määrittää determinantti.

Wronskin determinantti ja lineaarinen riippumattomuus

Jos funktiot f_i ovat lineaarisesti riippuvia, niin tällöin myös niistä muodostetun Wronskin determinantin sarakkeiden täytyy olla, sillä derivointi on lineaarinen operaatio ja tällöin determinantin arvoksi tulee nolla. Niinpä Wronskin determinanttia voi käyttää sen osoittamiseen, että jono derivoituvia funktioita on lineaarisesti riippumattomia tietyllä välillä. Tähän riittää se, että determinantin arvoksi saadaan jotain nollasta poikkeavaa. Jos näin käy funktiojonolle, joka on lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisujoukko, voidaan sanoa, että kyseinen funktiojono muodostaa kyseisen lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisujen kannan.

On helppo ajatella, että W = 0 tarkoittaa aina lineaarista riippuvuutta, mutta tämä onkin yleinen väärinkäsitys. Giuseppe Peano painotti kuitenkin jo varhain (1889), että on olemassa funktioita kuten x² ja |x|x, joilla on jatkuvat derivaatat ja joiden Wronskin determinanttien arvot ovat 0 kaikilla x:n arvoilla, ja silti niiden muodostama funktiojono ei ole lineaarisesti riippuva. Niinpä tarvitaankin muutamia lisäehtoja sille, että Wronskin determinantin arvo 0 jollain tietyllä välillä tarkoittaisi lineaarista riippuvuutta.

Giuseppe Peano havaitsi vuonna 1889, jos funktiot ovat analyyttisiä, niin W = 0 tietyllä välillä tarkoittaa lineaarista riippuvuutta. Bochner puolestaan antoi vuonna 1901 muutamia muita ehtoja sille, että W = 0 tarkoittaisi lineaarista riippuvuutta. Lisäksi Wolsson julkaisi vuonna 1989 yleisemmän määritelmän sille, millä tavoin Wronskin determinantin arvo nolla ilmaisee lineaarista riippuvuutta.

Lähteet

• (1901) Certain Cases in Which the Vanishing of the Wronskian is a Sufficient Condition for Linear Dependence 2. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 139–149. 
• (1964) Ordinary differential equations. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-89871-510-1. 
• Hoene-Wronski, J. (1812). Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange. 
• (1882) A treatise on the theorie of determinants.. Macmillan. 
• (1889) Sur le déterminant wronskien. IX (in French), 75–76, 110–112. 
• Malline:Eom
• (1989a) A condition equivalent to linear dependence for functions with vanishing Wronskian 116, 1–8. DOI:10.1016/0024-3795(89)90393-5. 
• (1989b) Linear dependence of a function set of m variables with vanishing generalized Wronskians 117, 73–80. DOI:10.1016/0024-3795(89)90548-X.