Wigner–Seitzin solu
Wigner–Seitzin solu[1] on kiinteän olomuodon fysiikassa ja kristallografiassa se kiteen kutakin atomia ympäröivä alue, joka on lähempänä kyseisen atomin ydintä kuin minkään muun atomin ydintä.[1] Se on saanut nimensä kiinteän olomuodon fysiikan tutkijoiden Eugene Wignerin ja Frederick Seitzin mukaan.[1] Wigner–Seitzin solua vastaava geometrinen käsite on Voronoin monitahokas.[1]
Kiteille ominaista on, että niissä atomit ovat järjestyneet säännölliseksi kolmiulotteiseksi rakenteeksi, jota sanotaan hilaksi. Kaikki kiteisten aineiden tyypilliset ominaisuudet johtuvat tästä hyvin järjestyneestä rakenteesta. Kidehilalla on diskreetti siirtosymmetria. Tällaisen jaksollisen systeemin mallintamiseksi ja tutkimiseksi tarvitaan matemaattisia käsitteitä, jotka kuvaavat symmetriaa ja joiden avulla voidaan tehdä päätelmiä niistä aineen ominaisuuksista, jotka seuraavat tästä symmetriasta. Wigner–Seitzin solu on eräs sellainen matemaattinen käsite.
Wigner–Seitzin solu on esimerkki alkeiskopista eli sellaisesta yksikkökopista, jossa on yksi ja vain yksi hilapiste. Missä tahansa hilassa voidaan kuitenkin määritellä mahdolliset alkeiskopit useilla eri tavoilla, mutta vain yksi niistä antaa tulokseksi Wigner–Seitzin solut.[2] Kuhunkin tällaiseen soluun kuuluvat ne avaruuden pisteet, jotka ovat lähempänä sen keskellä olevaa hilapistettä kuin mitään muuta hilapistettä.
Määritelmä muokkaa
Hilapistettä ympäröivä Wigner–Seitzin solu määritellään niiden avaruuden pisteiden uraksi, jotka ovat lähempänä kyseistä hilapistettä kuin mitään muuta hilapistettä.
Määritelmästä seuraa, että atomeja ympäröivät Wigner–Seitzin solut täyttävät koko Bravais’n hilan ilman, että niiden väliin jää aukkoja.
Wigner–Seitzin solut voidaan muodostaa piirtämällä toisiaan lähimpänä olevia hilapisteitä yhdistäville janoille niitä vastaan kohtisuorat tasot, jotka kulkevat näiden janojen keskipisteiden kautta.
Kidehilan käänteishilan Wigner–Seitzin solua käänteis- eli momenttiavaruudessa sanotaan Brillouinin vyöhykkeeksi.[3]
Solun konstruointi muokkaa
Kahdessa ulottuvuudessa Wigner–Seitzin solu voidaan piirtää valitsemalla ensin jokin hilapiste. Piirretään siitä janat kaikkiin sitä lähimpänä oleviin hilapisteisiin. Piirretään edelleen jokaiselle tällaiselle janalle keskinormaali, toisin sanoen suora, joka leikkaa janan kohtisuorasti sen keskipisteessä. Näiden keskinormaalien väliin jäävä alue on valittua hilapistettä ympäröivä Wigner–Seitzin solu.
Kolmessa ulottuvuudessa solut voidaan konstruoida periaatteessa samaan tapaan, mutta tällöin hilapisteitä toisiinsa yhdistäville janoille on muodostettava keskinormaalitaso, toisin sanoen taso, jonka jana leikkaa kohtisuorasti keskipisteessään. Jokainen keskinormaalitason piste on yhtä etäällä janan kummassakin pisteestä. Valitusta hilapisteestä lähtevien janojen keskinormaalitasojen väliin jäävä avaruuden alue on tätä hilapistettä ympäröivä Wigner–Seitzin solu. Tällä tavoin hila tulee kokonaisuudessaan jaetuksi Wigner–Seitzin soluihin, eikä niiden väliin jää aukkoja, toisin sanoen alueita, jotka eivät kuulu mihinkään tällaiseen soluun.
Voronoin solut ja Brillouinin vyöhykkeet muokkaa
Yleistä matemaattista käsitettä, jonka fysikaalinen sovellus Wigner–Seitzin solu on, sanotaan Voronoin monitahokkaaksi tai Voronoin soluksi[1] ja tason tai avaruuden jakamista tällaisiin alueisiin Voronoin diagrammiksi. Kutakin hilapistettä ympäröivä Voronoin solu käsittää ne avaruuden pisteet, jotka ovat lähempänä kyseistä hilapistettä kuin mitään muuta hilapistettä. Voronoin diagrammin käsite voidaan yleistää tapauksiin, joissa säännöllisessä järjestyksessä olevat hilapisteet on korvattu toisiinsa nähden epäsäännöllisesti sijaitsevien pisteiden joukolla.[1]
Käänteishilassa Wigner–Seitzin soluja vastaavat Brillouinin vyöhykkeet[3], jotka ovat käänteishilan Voronoin soluja. Brillouinin vyöhykkeillä on keskeinen merkitys kiinteän olomuodon fysiikassa.
Esimerkkejä muokkaa
Kahdessa ulottuvuudessa säännöllisen Bravais’n hilan alkeiskopit ovat suunnikkaita, erikoistapauksissa neljäkkäitä, suorakulmioita tai neliöitä. Hilan Wigner–Seitzin solut ovat yleensä kuusikulmion muotoisia.[1] Jos hila muodostetaan suorakulmioista, ovat kuitenkin myös Wigner–Seitzin solut suorakulmioita, ja jos se muodostetaan neliöistä, myös Wigner-Seitzin solut ovat neliöitä. Solut ovat neliöitä myös esimerkiksi hilassa, jonka hilavektorit ovat (1,0) ja (1/2,1/2).
Kolmiulotteisessa avaruudessa yksinkertaisen kuutiollisen hilan Wigner–Seitzin solut ovat kuutioita. Pintakeskisessä kuutiollisessa hilassa Wigner–Seitzin solut ovat muodoltaan rombidodekaedreja[4] ja tilakeskisessä kuutiollisessa hilassa katkaistuja oktaedreja.[5] Heksagonaalisen tiivispakkauksen (HCP) Wigner–Seitzin solut ovat trapetsorombisia dodekaedreja.
Lähteet muokkaa
- ↑ a b c d e f g Malcolm E. Lines: ”Topologia: Königsbergin silloista polymeereihin”, Jättiläisen harteilla: Matematiikan heijastuksia luonnontieteeseen, s. 214–215. Suomentanut Veli-Pekka Ketola. Art House, 2000. ISBN 951-884-285-X.
- ↑ H. E. Hall: ”The Crystal Lattice”, Solid State Physics, s. 24. John Wiley & Sons Ltd, 1979. ISBN 0-471-34281-5.
- ↑ a b H. E. Hall: ”The Reciprocal Lattice and Brillouin Zones”, Solid State Physics, s. 179. John Wiley & Sons Ltd, 1979. ISBN 0-471-34281-5.
- ↑ H. E. Hall: ”Typical Crystal Structures”, Solid State Physics, s. 31. John Wiley & Sons Ltd, 1979. ISBN 0-471-34281-5.
- ↑ H. E. Hall: ”Typical Crystal Structures”, Solid State Physics, s. 38–39. John Wiley & Sons Ltd, 1979. ISBN 0-471-34281-5.