Vektoriavaruus

Vektoriavaruus eli lineaariavaruus on matemaattinen joukko, jolle on määritelty kaksi laskutoimitusta: alkioiden summa ja skalaarilla kertominen.

Vektorien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen: vektori v (sininen) lisätään vektoriin w (punainen, ylempi kuvio). Alla w venytetään kertoimella 2 ja lasketaan summa $v+2w$.

Vektoriavaruus on lineaarialgebran peruskäsite, jota käytetään paljon erityisesti matriisilaskennassa ja funktionaalianalyysissa. Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan vektoreiksi.

Johdanto

Esimerkiksi vektoriavaruuden $\mathbb {R} ^{2}$ eli "x-y-tason" alkioita eli vektoreita ovat reaalilukukaksikot $(x,y)$. Kahden tällaisen vektorin summa lasketaan koordinaateittain: $(1,2)+(20,30)=(21,32)$.

Skalaarilla eli reaaliluvulla kerrottaessa jokainen tällaisen vektorin koordinaatti kerrotaan annetulla reaaliluvulla, esim. $3\cdot (1,2)=(3,6)$. Tämä siis tuottaa skalaarista ja vektorista vektorin.

Vastaavat säännöt pätevät kaikissa $\mathbb {R} ^{n}$-avaruuksissa, mutta on myös paljon monimutkaisempia ja jopa ääretönulotteisia vektoriavaruuksia, ja joidenkin vektoriavaruuksien skalaarikunta on jokin muu kuin reaalilukujen kunta $\mathbb {R}$.

Määritelmä

Olkoon $\mathbb {K}$ kunta (ns. kerroinkunta), V joukko ja kuvaukset $f:V\times V\rightarrow V$ ja $g:\mathbb {K} \times V\rightarrow V$. Määrittelemme, että kolmikko $(V,f,g)$ on vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) jos ja vain jos kuvaukset f ja g toteuttavat ehdot

1. Kuvaus f on vaihdannainen:

   $f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )$ kaikilla $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$.

2. Kuvaus f on liitännäinen:

   $f(f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} ),\mathbf {w} )=f(\mathbf {u} ,f(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ))$ kaikilla $\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$.

3. Kuvauksen f nollavektori:

   On olemassa ${\bar {0}}\in V$, jolle $f({\bar {0}},\mathbf {u} )=f(\mathbf {u} ,{\bar {0}})=\mathbf {u}$ kaikilla $\mathbf {u} \in V$.

4. Vektorin vastavektori:

   Jokaiselle $\mathbf {u} \in V$ on olemassa $-\mathbf {u} \in V$, jolle $f(-\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=f(\mathbf {u} ,-\mathbf {u} )={\bar {0}}$.

5. Neutraalialkio:

   Kunnan $\mathbb {K}$ neutraalialkiolle $1$ pätee $g(1,\mathbf {u} )=\mathbf {u}$ kaikilla $\mathbf {u} \in V$.

6. Osittelulaki:

   $g(a,f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} ))=f(g(a,\mathbf {u} ),g(a,\mathbf {v} ))$ kaikilla $a\in \mathbb {K}$ ja $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$.

7. Skalaarien summan osittelu:

   $g(a+b,\mathbf {u} )=f(g(a,\mathbf {u} ),g(b,\mathbf {u} ))$ kaikilla $a,b\in \mathbb {K}$ ja $\mathbf {u} \in V$.

8. Skalaarien tulon osittelu:

   $g(a,g(b,\mathbf {u} ))=g(ab,\mathbf {u} )$ kaikilla $a,b\in \mathbb {K}$ ja $\mathbf {u} \in V$.

Vektoriavaruuden kuvausta f kutsutaan vektoreiden yhteenlaskuksi ja g skalaarilla kertomiseksi. Ne ovat oletusten nojalla binäärioperaatioita joukossa V. Yleisesti näille binäärioperaatioille käytetään lineaariavaruuksissa merkintöjä

$f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} +\mathbf {v}$ kaikilla $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$ ja $g(a,\mathbf {u} )=a\mathbf {u}$ kaikilla $a\in \mathbb {K}$ ja $\mathbf {u} \in V$.

Mikäli $\mathbb {K} =\mathbb {R}$, kyseessä on reaalinen vektoriavaruus ja jos $\mathbb {K} =\mathbb {C}$, niin kyseessä on kompleksinen vektoriavaruus.

Vektoriavaruus on erikoistapaus modulista. Toisin kuin moduleilla, jokaisella epätriviaalilla vektoriavaruudella on kanta, eli joukko lineaarisesti riippumattomia vektoreita, joiden lineaarikombinaationa jokainen avaruuden vektori voidaan ilmaista. Usein sovitaan, että tyhjä joukko on triviaalin vektoriavaruuden kanta. Vektoriavaruus on äärellisulotteinen, jos sillä on kanta, jossa on äärellinen määrä vektoreita. Muussa tapauksessa vektoriavaruus on ääretönulotteinen. Vektoriavaruuden kanta voidaan yleensä valita äärettömän monella eri tavalla, mutta valinnasta riippumatta äärellisulotteisen vektoriavaruuden kannassa on aina yhtä monta vektoria. Myös ääretönulotteisen vektoriavaruuden eri kannat ovat keskenään yhtä mahtavia. Kannan olemassaolo voidaan todistaa Zornin lemman avulla ja yhtämahtavuus ultrafiltterilemman avulla.

Esimerkkejä

Kannattaa huomata, että vektoriavaruuden alkiot eivät välttämättä ole järjestettyjä lukujoukkoja, joiksi vektorit usein mielletään, kuten myöskään kerroinkunnan alkiot eivät välttämättä ole lukuja. Vektoriavaruuden alkioina voivat "tavallisten" vektorien sijaan olla yhtä hyvin matriisit tai jopa funktiot. Eräs vektoriavaruus, ns. triviaali vektoriavaruus, on vain nolla-alkiosta koostuva joukko {0}. Tärkeimpia vektoriavaruuksia matematiikassa ovat

• Euklidinen avaruus $\mathbb {R} ^{n}$ skalaarikuntana $\mathbb {R}$.
• Kompleksikertoimisten matriisien $\mathbb {C} ^{m\times n}$ avaruus skalaarikuntana $\mathbb {R}$.
• Jonoavaruudet $\ell ^{p}$ skalaarikuntana $\mathbb {R}$.
• p-integroituvien funktioiden avaruudet $L^{p}$ skalaarikuntana $\mathbb {R}$

Tosin riippuen tapauksesta on myös yleistä käyttää edellä olevissa esimerkeissä skalaarikuntana kompleksilukuja.

Vektorialiavaruus

Vektoriavaruuden (V,f,g) osajoukkoa A kutsutaan aliavaruudeksi jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

1. Joukko A on suljettu yhteenlaskun suhteen:

   $f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\in A$ kaikilla $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in A$

2. Joukko A on suljettu skalaarilla kertomisen suhteen:

   $g(a,\mathbf {u} )\in A$ kaikilla $a\in \mathbb {K}$ ja $\mathbf {u} \in A$.

Esimerkiksi vektoriavaruuden $\mathbb {R} ^{2}$ aliavaruus on mikä tahansa origon kautta kulkeva suora. Lisäksi esimerkiksi jonoavaruuden $\ell ^{p}$ eräs aliavaruus on nollaan suppenevien jonojen joukko.

Sovelluksia

Vektoriavaruuksiin voidaan liittää lisärakenteena esimerkiksi normi tai sisätulo. Näiden avulla voimme määritellä mm. topologisen struktuurin vektoriavaruuksiin. Topologisista vektoriavaruuksista enemmän artikkeleissa normiavaruus ja sisätuloavaruus.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Helsinki: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Vektoriavaruus Wikimedia Commonsissa