Trilineaariset koordinaatit

Trilineaariset koordinaatit muodostuvat kolmesta järjestetystä luvusta $\scriptstyle \alpha ,\beta$ ja $\scriptstyle \gamma$, jotka kuvaavat pisteen kohtisuoria etäisyyksiä kolmion kolmesta sivusta. Lukukolmikko ei esitä todellisia etäisyyksiä vaan etäisyyksien suhdelukuja. Ne ovat siten homogeeniset koordinaatit. Koordinaatit voidaan merkitä $\scriptstyle \alpha :\beta :\gamma$ tai $\scriptstyle (\alpha ,\beta ,\gamma )$.

Trilineaariset koordinaatit ovat todellisten trilineaaristen koordinaattien a', b' ja c' suhdelukuja.

Kolmion $\scriptstyle \triangle ABC$, jonka pinta-ala on $\scriptstyle A_{\triangle }$ sivut a, b ja c sijaitsevat saman nimistä kulmaa vastapäätä. Pisteen P todellinen etäisyys sivusta a on a'. Tämän etäisyyden trilineaarinen koordinaatti on siten a' = $k\alpha$. Koordinaatit muodostetaan siten

$a':b':c'=k\alpha :k\beta :k\gamma =\alpha :\beta :\gamma ,$

missä kerroin saadaan

$k={\frac {2A_{\triangle }}{a\alpha +b\beta +c\gamma }}.$

Siis, pisteen P todelliset etäisyydet kolmion sivuista, eli todelliset trilineaariset koordinaatit, saadaan (suhteellisista) trilineaarisista koordinaateista kertomalla ne kertoimella k, ja päinvastoin jakamalla ne kertoimella k.

Koordinaatit ovat positiiviset, mikäli piste P on kolmion sisällä. Kolmion ulkopuolisille pisteille on yksi tai kaksikin koordinaattia negatiiviset. Mikäli kaikki koordinaatit ovat negatiivisia, voidaan negatiivisuus sisällyttää kertoimeen k ja supistaa merkinnästä pois. Piste on tällöin kolmion sisäpuolella.

Esimerkkejä

Merkinnöissä kirjaimet ovat sivujen pituuksia tai kulmien suuruuksia.

• Kolmion kärkien trilineaariset koordinaatit ovat 1:0:0 (A), 0:1:0 (B) ja 0:0:1 (C).
• Kolmion kulmanpuolittajien leikkauspisteen trilineaariset koordinaatit ovat 1:1:1.
• Kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspisteen koordinaatit ovat $\scriptstyle \cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma$.
• Kolmion painopisteen trilineaariset koordinaatit ovat $\scriptstyle {\tfrac {1}{a}}:{\tfrac {1}{b}}:{\tfrac {1}{c}}.$
• Kolmion keskijanojen kantapisteiden koordinaatit ovat $\scriptstyle 0:{\tfrac {1}{b}}:{\tfrac {1}{c}}(M_{a}),$ $\scriptstyle {\tfrac {1}{a}}:0:{\tfrac {1}{c}}(M_{b})$ ja $\scriptstyle {\tfrac {1}{a}}:{\tfrac {1}{b}}:0(M_{c}).$

Historia

Ranskalainen Etienne Bobillier (1797−1832) esitteli barysentriset koordinaatit vuonna 1827 tutkiessaan kolmioita ja niiden ympäristön pisteitä. Koordinaattien tarkoituksena oli ilmaista pisteiden sijainteja kolmioon nähden ja helpottaa siten laskuja. Monet muutkin kehittelivät tuolloin samantapaisia ideoita, mutta vasta saksalainen Julius Plückert (1801−1868) kirjoitti vuonna 1829 artikkelin Über ein neues Coordinatensystem, jossa hän esitteli trilineaariset koordinaatit.

Trilineaarinen koordinaattijärjestelmä ei syrjäyttänyt karteesista koordinaattijärjestelmää, mutta sitä käytetään nykyäänkin kolmioihin liittyvien laskelmien perustana tietyillä aloilla. Vielä nykyäänkin aiheesta julkaistaan tutkielmia. Kuuluisa alan tutkija on Clark Kimberling, jonka suurtyö on ollut noin 5 000 pisteen trilineaaristen koordinaattien määrittäminen.

Lähteet

• Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 15.4.2013.

Aiheesta muualla

• Kimberling, Clark: http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html, Evansvillen Yliopisto, 2013