Riviekvivalenssi

Lineaarialgebrassa kaksi matriisia ovat riviekvivalentit, jos toinen niistä saadaan toisesta äärellisellä määrällä alkeisrivitoimituksia. Lisäksi, kaksi m × n -matriisia ovat riviekvivalentit, jos ja vain jos niillä on sama riviavaruus. Käsitettä käytetään yleisimmin matriiseille, jotka kuvaavat lineaarisia yhtälöryhmiä. Tällaisessa tapauksessa kaksi samankokoista matriisia ovat riviekvivalentit, jos ja vain jos niitä vastaavilla homogeenisilla yhtälöryhmillä on samat ratkaisut tai vastaavasti matriiseilla on sama nolla-avaruus.

Koska alkeisrivitoimitukset ovat reversiibeleitä (l. voidaan suorittaa myös käänteisessä järjestyksessä), riviekvivalenssi on ekvivalenssirelaatio. Tätä merkitään yleisesti tildellä (~).

Sarake-ekvivalenssi määritellään puolestaan alkeissaraketoimitusten avulla. Lisäksi, kaksi matriisia ovat sarake-ekvivalentit, jos ja vain jos niiden transpoosit ovat riviekvivalentit. Kahta suorakulmaista matriisia, jotka voidaan muuntaa toisistaan sekä alkeisrivi- että alkeissaraketoimituksilla kutsutaan ekvivalenteiksi.

Alkeisrivitoimitukset

Jokainen seuraavista on alkeisrivitoimitus:

1. Vaihto: Vaihdetaan kaksi matriisin riviä keskenään.
2. Vakiolla kertominen: Kerrotaan matriisin rivi nollasta eroavalla vakiolla.
3. Rivin lisääminen: Kerrotaan jokin matriisin rivi nollasta eroavalla vakiolla ja lisätään se toiseen riviin.

Matriisit A ja B ovat riviekvivalentit ts. matriisi A on riviekvivalentti matriisin B kanssa, jos on mahdollista muuntaa matriisi A matriisiksi B äärellisellä määrällä alkeisrivitoimituksia.

Matriisit, jotka saadaan yksikkömatriisista yhdellä alkeis­rivi­toimituksella, ovat alkeis­matriiseja.

Riviavaruus

Matriisin riviavaruus on sen rivivektoreiden kaikkien mahdollisten lineaarikombinaatioiden joukko. Jos matriisin rivit kuvaavat lineaarista yhtälöryhmää, niin riviavaruus muodostuu kaikista niistä lineaarisista yhtälöistä, jotka voidaan johtaa algebrallisesti yhtälöryhmän vastaavista yhtälöistä. Kaksi m × n -matriisia ovat riviekvivalentit, jos ja vain jos niillä on sama riviavaruus. Matriisin A riviavaruutta merkitään Row (A) .

Esimerkiksi matriisit

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\;\;\;\;{\text{ja}}\;\;\;\;{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}}$

ovat riviekvivalentit, ja niiden molempien riviavaruus on kaikkien muotoa ${\begin{pmatrix}a&b&b\end{pmatrix}}$ olevien vektorien joukko.

Vastaavasti homogeenisia yhtälöryhmiä

${\begin{matrix}x=0\\y+z=0\end{matrix}}\;\;\;\;{\text{ja}}\;\;\;\;{\begin{matrix}x=0\\x+y+z=0\end{matrix}}$

tarkastellessa saadaan sama tieto.

Huomattakoon, että molemmat menetelmät edellyttävät jokaisen yhtälön olevan muotoa $ax+by+bz=0.\,$

Määritelmän perusta

Lineaarialgebrassa pidetään tärkeänä tietona sitä, että kaksi matriisia ovat ekvivalentteja, jos ja vain jos niillä on sama riviavaruus. Tämän teoreeman todistus perustuu seuraaviin huomioihin:

1. Alkeisrivitoimitukset eivät muuta matriisin riviavaruutta. Erityisesti, millä tahansa kahdella ekvivalentilla matriisilla on sama riviavaruus.
2. Mikä tahansa matriisi voidaan redusoida alkeisrivitoimituksilla redusoiduksi porrasmatriisiksi.
3. Kahdella redusoidulla porrasmatriisilla on sama riviavaruus, jos ja vain jos nämä matriisit ovat samoja.

Tämä päättely osoittaa myös, että jokainen matriisi on riviekvivalentti sitä vastaavan redusoidun porrasmatriisin kanssa.

Lisäominaisuudet

• Koska matriisin nolla-avaruus on riviavaruuden ortogonaalinen komplementti, niin kaksi matriisia ovat riviekvivalentit, jos ja vain jos niillä on sama nolla-avaruus.
• Matriisin aste on yhtä suuri kuin riviavaruuden dimensio, joten riviekvivalenteilla matriiseilla täytyy olla sama aste. Tämä on yhtä suuri kuin johtavien alkioiden lukumäärä redusoidussa porrasmatriisissa.
• Matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos se on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa.

Katso myös

• Kanta (lineaarialgebra)
• Gaussin algoritmi

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.