Rieszin esityslause

Funktionaalianalyysissä on useita variaatioita Rieszin esityslauseesta. Alkuperäisen tuloksen funktioavaruudessa ${\mathcal {C}}(0,1)$ todisti unkarilainen matemaatikko Frigyes Riesz vuonna 1909 artikkelissaan Sur les opérations fonctionnelles linéaires

Yksinkertaisimmillaan Rieszin esityslause sanoo, että jokainen Hilbertin avaruus on oma duaalinsa: ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{*}.$ Tarkemmin sanottuna ne ovat isometrisesti isomorfiset. Lause voidaan yleistää myös Banachin avaruuksille.

Hilbertin avaruudessa

Olkoon ${\mathcal {H}}$ Hilbertin avaruus, ${\mathcal {H}}^{*}=\lbrace f:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {K} ,f\,{\text{ lineaarinen}}\rbrace$ sen (jatkuva) duaaliavaruus (ja skalaarikunta $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ tai $\mathbb {C}$).

Tällöin jokaista funktionaalia $f\in {\mathcal {H}}^{*}$ vastaa yksikäsitteinen $y\in {\mathcal {H}}$, jolla pätee $f(x)=\langle x,y\rangle$ kaikilla $x\in {\mathcal {H}}$. Vastaavasti kaikilla $y\in {\mathcal {H}}$, kuvaus $x\mapsto \langle x,y\rangle$ on jatkuva funktionaali.

Lineaaristen funktionaalien esityslause C_c(X):ssä

Seuraava lause esittää positiivisia lineaarisia funktionaaleja C_c(X):ssä, kompaktissa joukossa jatkuvia komleksifunktioita. Borelin joukko viittaa σ-algebraan, jonka virittää avoimet joukot.

Epänegatiivinen additiivinen Borelin mitta μ lokaalisti kompaktissa Hausdorffin avaruudessa X on säännöllinen jos ja vain jos

• μ(K) < ∞ kaikilla kompakteilla joukoilla K;

• Kaikilla Borel-joukoilla E,

$\mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ avoin}}\}$

• Ehto

$\mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ kompakti}}\}$

on voimassa kun E on avoin tai E on Borel ja μ(E) < ∞.

Lause. Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus. Kaikille joukossa C_c(X) määritellyille positiivisille lineaarisille funktionaaleille ψ on olemassa yksikäsitteinen Borel-säännöllinen mitta μ X:ssä, jolle

$\psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\quad$

kaikilla C_c(X)-funktioilla f.

Aiheesta muualla

• Bachman, Narici: Functional analysis