Reuna (topologia)

Topologiassa ja yleisemminkin matematiikassa topologisen avaruuden X osajoukon reuna on niiden pisteiden joukko, joita voidaan lähestyä sekä S:n sisä- että ulkopuolelle. Täsmällisemmin sanottuna se on niiden pisteiden joukko, jotka kuuluvat S:n sulkeumaan, mutta eivät ole S:n sisäpisteitä. S:n reunalla olevia pisteitä sanotaan S:n reunapisteiksi.Reunaoperaatiolla tarkoitetaan annetun joukon reunan määrittämistä. Joukon S reunalle käytetään merkintöjä bd(S), fr(S) ja ∂S.

Joukko (vaaleansininen) ja sen reuna (tummansininen)

Jotkut oppikirjojen laatijat, esimerkiksi Willard, käyttävät reunan (engl. border) sijasta nimitystä raja (engl. frontier) erotukseksi algebrallisessa topologiassa ja monistojen teoriassa käytetyistä reunan käsitteistä. Toisinaan termillä raja (engl. frontier) kuitenkin tarkoitetaan pelkästään niiden rajapisteiden joukkoa, jotka eivät kuulu varsinaiseen joukkoon, toisin sanoen S \ S.

Joukon S:n reunan yhtenäistä komponenttia sanotaan S:n reunakomponentiksi.

Jos joukko koostuu vain erillisistä pisteistä, sillä on vain reuna eikä lainkaan sisäpisteitä.

Yleisiä määritelmiä

Topologisen avaruuden X osajoukon S reuna voidaan määritellä useilla keskenään yhtäpitävillä tavoilla:

• reuna on niiden X:n pisteiden joukko, jotka kuuluvat S:n sulkeumaan, mutta eivät ole S:n sisäpisteitä: ∂S = S \ S^o.
• reuna on S:n sulkeuman ja S:n komplementin sulkeuman leikkaus: ∂S = S ∩ (X \ S).
• reuna on niiden pisteiden $p\in X$ joukko, joiden jokainen ympäristö sisältää sekä ainakin yhden S:ään kuuluvan pisteen että ainakin yhden pisteen, joka ei kuulu S:ään.

Esimerkkejä

Mandelbrotin joukon hyperbolisten komponenttien reuna

Tarkastellaan reaalilukujen joukkoa $\mathbb {R}$ varustettuna tavanomaisella topologialla, jonka kannan muodostavat avoimet välit. Todetaan:

• ∂(0,5) = ∂[0,5) = ∂(0,5] = ∂[0,5] = {0,5}
• ∂∅ = ∅
• ∂$\mathbb {Q} =\mathbb {R}$
• ∂($\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]$

Kaksi jälkimmäistä esimerkkiä osoittavat, että sellaisen tiheän joukon reuna, jolla ei ole sisäpisteitä, on sen sulkeuma.

Kun Rationaalilukujen joukko $\mathbb {Q}$ varustetaan tavanomaisella topologialla eli kun sitä käsitellään $\mathbb {R}$:n aliavaruutena, joukon $(-\infty ,a)$ reuna, kun a on irrationaaliluku, on tyhjä joukko.

Joukon reuna on topologinen käsite, ja mitkä pisteet kuuluvat tietyn joukon reunaan, riippuu käytetystä topologiasta. Esimerkiksi jos käytetään tason $\mathbb {R} ^{2}$ tavanomaista topologiaa, suljetun kiekon Ω = {(x,y) | x² + y² ≤ 1} reuna on sitä ympäröivä ympyrän kehä: ∂Ω = {(x,y) | x² + y² = 1}. Jos kiekko sen sijaan käsitetään kolmiulotteisen avaruuden $\mathbb {R} ^{3}$ osajoukoksi, toisin sanoen joukoksi {(x,y,0) | x² + y² ≤ 1}, kiekon reuna käsittää koko kiekon: ∂Ω = Ω. Jos kiekkoa käsitellään omana topologisena avaruutenaan, $\mathbb {R} ^{2}$:n aliavaruutena, sen reuna on tyhjä.

Ominaisuuksia

• Joukon reuna on suljettu.
• Sekä joukon sisäpisteiden joukon että sen sulkeuman reuna sisältyvät alkuperäisen joukon reunaan.
• Joukon reuna on avoin, jos ja vain jos joukko on suljettu ja ei missään tiheä.
• Joukon reuna on sama kuin sen komplementin reuna: ∂S = ∂(S^C).
• Suljetun joukon reunan sisäpisteiden joukon reuna on tyhjä joukko.

Niinpä:

• p on joukon S reunapiste, jos ja vain jos jokainen p:n avoin ympäristö sisältää ainakin yhden pisteen, joka kuuluu S:ään, ja ainakin yhden pisteen, joka ei kuulu S:ään.
• Joukko on suljettu, jos ja vain jos se sisältää reunansa, ja avoin, jos ja vain jos yksikään sen reunapiste ei kuulu joukkoon.
• Joukon sulkeuma on sama kuin joukon ja sen reunan yhdiste: S = S ∪ ∂S.
• Joukon reuna on tyhjä, jos ja vain jos joukko on sekä avoin että suljettu.
• Joukon sulkeuman reunan sisäpisteiden joukko on tyhjä joukko.

Käsitteellinen Venn-diagrammi, joka osoittaa $\mathbb {R} ^{n}$:n osajoukkoon S liittyvien pisteiden suhteet.
A on S:n kasautumispisteiden joukko ja
B on S:n reunapisteiden joukko.
Vihreä alue $S\cap A$ on S:n sisäpisteiden joukko, ja
keltainen alue on $S\cap B$ S:n erillisten pisteiden joukko.
Mustat alueet ovat aina tyhjiä joukkoja.
Jokainen S:n piste on joko sen sisäpiste tai reunapiste. Samoin jokainen S:n piste on joko sen kasautumispiste tai erillinen piste. Jokainen S:n reunapiste on joko sen kasautumispiste tai erillinen piste. Erilliset pisteet ovat aina reunapisteitä. (Joukkojen sijainti tässä käsitteellisessä kaaviossa ei vastaa erilaisten pisteiden sijaintia toisiinsa nähden, jos S on esimerkiksi tason $\mathbb {R} ^{2}$ osajoukko.)

Reunan reuna

Jokaiselle joukolle pätee S, ∂S ⊇ ∂∂S. Yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos S:n reunalla ei ole sisäpisteitä, kuten on laita esimerkiksi, jos S on joko avoin tai suljettu. Koska joukon reuna on suljettu, ∂∂S = ∂∂∂S kaikilla joukoilla S. Reunaoperaattori siis toteuttaa eräänlaisen heikon muodon idempotenssista.

Käsiteltäessä monistojen tai simpleksien ja niiden simplisiaalisten kompleksien reunoja voidaan todeta, että niiden reunan reuna on aina tyhjä joukko. Itse asiassa singulaarisen homologian teoria perustuu ratkaisevasti juuri tähän seikkaan. Tämän näennäinen ristiriita selittyy sillä, että tässä artikkelissa käsitelty topologinen reuna poikkeaa käsitteenä jonkin verran moniston tai simplisiaalisen kompleksin reunasta. Esimerkiksi jos avointa kiekkoa käsitellään monistona, sen reuna on tyhjä, mutta jos sitä käsitellään topologisena avaruutena, sen reuna on sitä kiertävä ympyrän kehä.

Katso myös

• Sisä-, reuna- ja ulkopiste
• Kasautumispiste

Kirjallisuutta

• J. R. Munkres: Topology. Prentice Hall, 2000. ISBN 0-13-181629-2.
• L. van den Dries: Tame Topology. {{{Julkaisija}}}, 1992. ISBN 978-0521598385.