Pienin yhteinen jaettava

Kahden tai useamman kokonaisluvun pienin yhteinen jaettava eli pienin yhteinen monikerta, p.y.j., on matematiikassa pienin kokonaisluku, joka on tasan jaollinen kyseessä olevilla luvuilla. Käytännössä p.y.j. ilmaantuu esimerkiksi murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskussa (ks. esimerkki alla). Se on mahdollista määrätä jakamalla luvut alkutekijöihinsä ja kertomalla niiden tekijöiden korkeimmat potenssit.

Formaalisti kahden luonnollisen luvun a ja b pienin yhteinen jaettava, pyj(a,b) = m, on pienin sellainen luku, jota kohti on olemassa sellaiset luonnolliset luvut $n_{a}$ ja $n_{b}$, että

$n_{a}\cdot a=n_{b}\cdot b=m$.

Siis jos

$a=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdot \cdot \cdot p_{n}^{a_{n}}$

$b=p_{1}^{b_{1}}p_{2}^{b_{2}}\cdot \cdot \cdot p_{n}^{b_{n}}$,

missä $p_{i}$ on i:s alkuluku ja jos $p_{i}$ ei ole luvun tekijä, sitä vastaava eksponentti $a_{i}$ tai $b_{i}$ on nolla, saadaan pyj-kaavaksi

$\operatorname {pyj} (a,b)=p_{1}^{\max(a_{1},b_{1})}p_{2}^{\max(a_{2},b_{2})}\cdot \cdot \cdot p_{n}^{\max(a_{n},b_{n})}$

Esimerkki:

• Lukujen 18 ja 20 p.y.j.

$18=2\cdot 3^{2}$

$20=2^{2}\cdot 5$

$\operatorname {pyj} (18,20)=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5=180$.

Huomaa, että ${\frac {180}{18}}=10$ ja ${\frac {180}{20}}=9$, eli pyj on jaollinen luvuilla 18 ja 20. Lisäksi jos joku luku on jaollinen luvuilla 18 ja 20, se on jaollinen myös luvulla 180. Esimerkiksi 18 · 20 = 360 = 2 · 180

---

• Lukujen 26 ja 28 p.y.j.

$26=2\cdot 13$

$28=2^{2}\cdot 7$

$\operatorname {pyj} (26,28)=2^{2}\cdot 7\cdot 13=364$

---

• Pienintä yhteistä jaettavaa voidaan hyödyntää murtolukujen yhteenlaskussa.

${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{20}}$

Lasketaan ensin pyj(18,20) = 180. Lavennetaan tämän jälkeen murtoluvut samannimisiksi, eli että kummankin nimittäjä on 180. Kerroin saadaan jakamalla pyj nimittäjällä: 180/18=10, 180/20=9.

${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{20}}={\frac {10}{180}}+{\frac {9}{180}}={\frac {19}{180}}$

---

Voidaan osoittaa, että luonnollisille luvuille n ja p pätee:

$n\cdot p=\operatorname {syt} (n,p)\cdot \operatorname {pyj} (n,p)$

Lähteet

• Rosen, Kenneth H.: Elementary Number Theory and Its Applications, s. 72. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1984. ISBN 0-201-06561-4. (englanniksi)

Katso myös

• Aito jakaja
• Suurin yhteinen tekijä
• Yhteinen tekijä