Pascalin kolmio

Pascalin kolmio on matematiikassa binomikertoimista kolmion muotoon koottu järjestelmä.

Kolmiossa alapuolella oleva luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa.

Pascalin kolmio on saanut nimensä ranskalaisen matemaatikon Blaise Pascalin mukaan. Pascal itse ei keksinyt Pascalin kolmion käsitettä, sillä jo muinaiset persialaiset, kiinalaiset, intialaiset ja italialaiset tunsivat sen. Kuitenkin vasta Pascal havaitsi sen käyttökelpoisuuden moninaisissa matemaattisissa ongelmissa.

Pascalin kolmio voidaan muodostaa siten, että ylhäältä alaspäin edettäessä jokainen uuden rivin luku on sen yläpuolella vasemmalla ja oikealla puolella olevien lukujen summa. Jokainen reunalla oleva luku on 1. Alla Pascalin kolmion rivit nollasta kymmeneen:

                               1
                            1     1
                         1     2     1
                      1     3     3     1
                   1     4     6     4     1
                1     5     10    10    5     1
             1     6     15    20    15    6     1
          1     7     21    35    35    21    7     1
       1     8     28    56    70    56    28    8     1
    1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
 1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1

Kertoimien yhteenlaskusäännön voi täydentää sijoittamalla tyhjille paikoille ykkösten vasemmalle ja oikealle puolelle nollia.

Merkitys

Binomilause

Binomilauseen mukaan binomin positiivinen kokonaislukupotenssi (a+b)ⁿ voidaan kehittää polynomiksi, jonka kertoimet, kun termit järjestetään a:n alenevien potenssien mukaan, saadaan Pascalin kolmion n+1:nneltä riviltä eli siltä riviltä, jonka toinen luku on n. Esimerkiksi lausekkeen $(a+b)^{4}$ kertoimet ovat 1, 4, 6, 4 ja 1 eli

$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$

Näitä Pascalin kolmiosta saatavia kertoimia sanotaan binomikertoimiksi. Niille käytetään merkintää ${n \choose k}$ joka tarkoittaa termin $a^{k}b^{n-k}$ kerrointa, kun (a+b)ⁿ kehitetään polynomiksi. Tämä luku esiintyy Pascalin kolmion n+1:nnellä rivillä k+1:ntenä. Esimerkiksi kolmion 5. rivillä ovat luvut:

${4 \choose 0}=1,{4 \choose 1}=4,{4 \choose 2}=6,{4 \choose 3}=4$ ja ${4 \choose 4}=1$.

Yleensäkin on aina

${n \choose 0}={n \choose n}=1$ ja

${n \choose 1}={n \choose {n-1}}=n$.

Binomikertoimet voidaan laskea myös kertomien avulla kaavalla ${n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$.

Pascalin kolmio voidaan muodostaa edellä kuvatulla tavalla, koska Pascalin säännön mukaan kaikilla arvoilla n>1, 0<k<n pätee: ${{n+1} \choose k}={n \choose {k-1}}+{n \choose k}$.

Kombinatoriikka ja todennäköisyyslaskenta

Pascalin kolmiolla on tärkeä merkitys myös kombinatoriikassa ja sen sovelluksena todennäköisyyslaskennassa. Minkä tahansa n-alkioisen joukon sellaisten osajoukkojen lukumäärä, jossa on k alkiota, saadaan Pascalin kolmion n+1:nnen rivin k+1:nnestä kohdasta. Esimerkiksi neli­alkioisella joukolla on 1 sellainen joukko, jossa ei ole yhtään alkiota (tyhjä joukko), 4 yksi­alkiosta, 6 kaksi­alkioista ja 4 kolmi­­alkioista osaj­oukkoa sekä 1 neli­alkoinen osa­joukko eli alku­peräinen joukko itse.

Binomikertoimiin perustuu myös binomijakauma.

Pascalin kolmion ominaisuuksia

• Luvun 11 neljä ensimmäistä potenssia saadaan Pascalin kolmion neljältä ensimmäiseltä riviltä kirjoittamalla rivillä olevat numerot välittömästi peräkkäin: 11² = 121, 11³ = 1331 ja 11⁴ = 14641. Tämä johtuu siitä, että 11 = 10 + 1 ja esimerkiksi (10 + 1)³ = 10³ + 3 · 10² + 3 · 10 + 1 = 1331.
• Kunkin Pascalin kolmion rivin lukujen summa on kaksi korotettuna rivin järjestysluvun osoittamaan potenssiin. Esimerkiksi kolmannelta riviltä saadaan 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³.
• Reunojen jälkeen seuraavilla vinoittain menevillä riveillä ovat kaikki luonnolliset luvut: 1, 2, 3, 4, 5 ja niin edelleen.
• Sisemmälle päin mentäessä seuraavilla vinoittain menevillä riveillä ovat kolmioluvut: 1, 3, 6, 10, 15 ja niin edelleen.
• Sisemmälle päin mentäessä seuraavilla vinoittain menevillä riveillä ovat tetraedriluvut: 1, 4, 10, 20, 35 ja niin edelleen.

Historia

Pingalan kaavasta johdettu Meru Prastaara (मेरु प्रस्तार) sellaisena kuin sitä käytettiin intialaisissa käsikirjoituksissa. Raghunathin kirjastosta vuodelta 755.

Yang Huin kolmio Zhu Shijien laatimassa oppikirjassa vuodelta 1303. Siinä ovat Pascalin kolmion luvut kiinalaisilla puikkolaskentamerkeillä kirjoitettuina.

Pascalin versio kolmiosta

Pascalin kolmio on saanut nimensä Blaise Pascalin mukaan. Itse kolmio oli kuitenkin tunnettu jo kauan ennen Pascalin aikaa. Intiassa sitä oli sovellettu kombinatoriikkaan, ja antiikin Kreikassa sen luvut olivat tulleet esiin kuviolukuja tutkittaessa. Nykyisen nimensä kolmio sai, koska teoksessaan Traité du triangle arithmétique (1654, julkaistu 1665) Pascal esitti sen luvuille monia aikaisemmin tuntemattomia sovelluksia.

Myöhempien kommentaarien perusteella on päätelty, että binomikertoimet ja niiden laskemiseen käytetyn yhteenlaskukaavan (${\tbinom {n}{r}}={\tbinom {n-1}{r}}+{\tbinom {n-1}{r-1}}$) tunsi jo viimeistään toisella vuosisadalla ennen ajanlaskumme alkua intialainen Pingala, joka käytti niistä nimitystä Meru-praastara, Merun portaikko". Pingalan teoksista on säilynyt vain katkelmia, mutta noin vuonna 505 sitä kommentoinut Varahamihira kuvasi yhteenlaskukaavan selvästi, ja yksityis­kohtaisemman kuvauksen samasta säännöstä antoi Halayudha noin vuonna 975. Halayudha myös selvensi, mitä hämärät maininnat "Merun portaikosta" tarkoittavat, ja häneltä on peräisin myös varhaisin kuvaus, jossa binomi­kertoimet on järjestetty taulukoksi kolmion muotoon. Noin vuonna 850 jainalainen matemaatikko Mahāvīra esitti binomi­kertoimille toisen­laisen laskukaavan käyttäen kertolaskua yhtäpitävästi nykyisen kaavan ${\tbinom {n}{r}}={\tfrac {n!}{r!(n-r)!}}$ kanssa. Vuonna 1068 matemaatikko Bhattotpala esitti ensimmäisten kuudentoista rivin neljä ensimmistä saraketta. Hän oli tiettävästi myös ensimmäinen, joka samassa yhteydessä esitti sekä yhteen- että kerto­lasku­menetelmät näiden lukujen laskemiseksi.

Suunnilleen samoihin aikoihin persialainen matemaatikko Al-Karaji (953–1029) kirjoitti nyttemmin kadonneen kirjan, joka myös sisälsi kuvauksen Pascalin kolmiosta. Myöhemmin sen esitti persialainen myös runoilijana ja tähtitieteilijänä tunnettu Omar Khayyám (1048–1131), jonka mukaan kolmio Iranissa tunnetaankin nimellä Khayyamin kolmio. Hänen aikanaan tunnettiin jo monia kolmioon liittyviä lauseita, muun muassa binomilause. Khayyam käytti luvun n:nnen juuren määrittämiseen menetelmää, joka perustuu binomikehitelmään ja näin ollen binomi­kertoimiin.

Myös Kiinassa Pascalin kolmion tunsi jo Jia Xian (1010–1070). Myöhemmin sitä tutki Yang Hui (1238–1298), jonka mukaan se yhä tunnetaan Kiinassa nimellä Yang Huin kolmio (kiin. 杨辉三角)

Euroopassa binomikertoimet laski Gersonides 1300-luvulla käyttämällä niiden laskemiseen kertolaskukaavaa. Kolmion muotoon järjestettynä ne julkaisi Euroopassa ensimmäisenä Petrus Apianus (1495–1552) liikelaskuja käsittelevän kirjansa kannessa vuonna 1527. Michael Stifel julkaisi osan kolmiosta, toiselta sarakkeelta keskimmäiselle, vuonna 1544 kuvaillen sitä kuviolukujen taulukkona. Italiassa Pascalin kolmio tunnetaan Tartaglian kolmiona algebran tutkija Niccolò Fontana Tartaglian (1500–1577) mukaan, joka julkaisi kolmion kuusi ensimmäistä riviä vuonna 1556. Myös Gerolamo Cardano julkaisi kolmion ja sekä yhteen- että kertolaskumenetelmät sen muodostamiseksi vuonna 1570.

Pascalin teos Traité du triangle arithmétique (Tutkielma aritmeettisesta kolmiosta) julkaistiin vuonna 1655. Siinä Pascal kokosi yhteen joukon kolmiota koskevia tuloksia ja käytti niitä toden­näköisyys­laskennan probleemojen ratkaisemiseen. Pascalin nimen kolmiolle antoivat ensimmäisinä vuonna 1708 Pierre Raymond de Montmort, joka nimitti sitä "herra Pascalin kombinaatiotauluksi" (ransk. Table de M. Pascal pour les combinations), ja vuonna 1730 Abraham de Moivre, joka nimitti sitä "Pascalin aritmeettiseksi kolmioksi" (lat. Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM).

Laajennus ja negatiiviset eksponentit

Kun n on negatiivinen, ei lauseketta $(1+x)^{n}$ voida kehittää polynomiksi. Sen sijaan tällaisellekin funktiolle on olemassa sarjakehitelmä, binomisarja:

$(1+x)^{-n}=1-nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}-{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}x^{3}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}x^{n}$,

mikä kuitenkin pätee vain, kun $-1<x<1$, sillä vain tässä tapauksessa sarja suppenee.

Myös tässä sarjassa oleville kertoimille ${\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}$, joissa n on negatiivinen, käytetään toisinaan merkintää ${n \choose k}$.

Pascalin kolmio voidaan laajentaa puolitasoksi siten, että siihen sisältyvät myös nämä binomisarjojen $(1+x)^{-n}$ kertoimet. Tämä tehdään seuraavasti:

Alkuperäisen kolmion jokaisen rivin loppuun lisätään nollia. Tämä vastaa sitä, että esimerkiksi lausekkeen $(1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}$ loppuun voidaan sen arvon muuttumatta lisätä $+0x^{4}+0x^{5}+0x^{6}$ ja niin edelleen. Sääntö, jonka mukaan kolmion jokainen luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa, pätee selvästi myös tällä alueella, onhan 0+0=0 ja 1+0=1. Taulukko voidaan nyt kirjoittaa seuraavaan muotoon:

1	0	0	0	0	0	...
1	1	0	0	0	0	...
1	2	1	0	0	0	...
1	3	3	1	0	0	...
1	4	6	4	1	0	...

Pascalin kolmion tavanomaisesta asettelusta poiketen tässä kaikki rivit alkavat yllä olevassa taulukossa samalta sarakkeelta. Sen jälkeen taulukon vasemmanpuoleista saraketta jatketaan ylöspäin lisäämällä jokaisen uuden rivin alkuun luku 1:

1						...
1						...
1						...
1						...
1	0	0	0	0	0	...
1	1	0	0	0	0	...
1	2	1	0	0	0	...
1	3	3	1	0	0	...
1	4	6	4	1	0	...

Silloinkin kun n on negatiivinen, pätee:

${n \choose m}={n-1 \choose m-1}+{n-1 \choose m}$

mikä voidaan kirjoittaa myös muotoon:

${n-1 \choose m}={n \choose m}-{n-1 \choose m-1}$

Uusille riveille sijoitettavat luvut lasketaan tätä lauseketta käyttäen, rivit alhaalta ylöspäin ja kukin rivi vasemmasta laidasta alkaen. Taulukosta tulee seuraavanlainen:

1	−4	10	−20	35	−56	...
1	−3	6	−10	15	−21	...
1	−2	3	−4	5	−6	...
1	−1	1	−1	1	−1	...
1	0	0	0	0	0	...
1	1	0	0	0	0	...
1	2	1	0	0	0	...
1	3	3	1	0	0	...
1	4	6	4	1	0	...

Tällöin todetaan erityisesti, että alkuperäisen kolmion yläpuolelle lisätyillä riveillä toisena, alussa olevan ykkösen jäljessä, ovat negatiiviset kokonaisluvut. Sillä rivillä, jolla toisena on luku -n, on k:ntena aina luku

${-n \choose k}={\frac {-n(-n-1)(-n-2)\dots (-n-k+1)}{k!}}$.

Kullakin näin lisätyllä rivillä on joka toinen luku positiivinen, joka toinen negatiivinen.

Lähteet

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Pascalin kolmio Wikimedia Commonsissa

Kirjallisuutta

• A. W. F. Edwards: Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea, s. 30–31. JHU Press, 2002.