Paloittain määritelty funktio

Paloittain määritelty funktio tarkoittaa matematiikassa funktiota, joka on määritelty eri tavoin määrittelyjoukkonsa osajoukoissa. Funktion määritteleminen paloittain on tarpeen silloin, kun yksi tietty funktio ei riitä kuvaamaan tarkasteltavaa tilannetta tai kun halutaan laajentaa funktion määrittelyjoukkoa sellaisiin joukkoihin, joissa se ei muutoin olisi mahdollista.

Itseisarvofunktio on eräs esimerkki paloittain määritellystä funktiosta.

Funktion määrittely paloittain

Olkoon ${\textstyle A}$ ja ${\textstyle B}$ joukkoja ja joukolla ${\textstyle A}$ ${\textstyle n}$ kappaletta erillisiä osajoukkoja, ${\textstyle A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{n}}$, jotka osittavat joukon ${\textstyle A}$. Ts. ${\textstyle A_{i}\subset A}$ kaikilla ${\textstyle i=1,2,\dotsc ,n}$, ${\textstyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$ kaikilla ${\textstyle i\neq j}$ ja ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A}$. Olkoon lisäksi joukoilta ${\textstyle A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{n}}$ joukolle ${\textstyle B}$ funktiot

$f_{1}:A_{1}\to B,f_{2}:A_{2}\to B,\dotsc ,f_{n}:A_{n}\to B$.

Tällöin funktio ${\textstyle f:A\to B}$,

$f(x)={\begin{cases}f_{1}(x),&{\text{ jos }}x\in A_{1}\\f_{2}(x),&{\text{ jos }}x\in A_{2}\\&\vdots \\f_{n}(x),&{\text{ jos }}x\in A_{n}\end{cases}}$

on paloittain määritelty funktio. Funktion määrittelemisessä paloittain on ehtoja, joiden tulee toteutua:

1. Osajoukkojen ${\textstyle A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{n}}$ tulee olla erillisiä. Näin varmistetaan, että paloittain määritelty funktio on funktio, eli se ei saa kahta tai useampaa eri arvoa samassa pisteessä.
2. Osajoukkojen ${\textstyle A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{n}}$ tulee täyttää määrittelyjoukko ${\textstyle A}$. Näin varmistetaan, että funktio on hyvin määritelty (määrittelyjoukkoon ei jää ''aukkoja'').
3. Funktion ${\textstyle f_{i}}$ pitää olla määritelty koko osajoukossa ${\textstyle A_{i}}$. Tämä liittyy edelliseen kohtaan.

Esimerkiksi, jos määrittelyjoukosta ${\textstyle A=[0,5]}$ otetaan osajoukot ${\textstyle A_{1}=[0,1[}$, ${\textstyle A_{2}=[1,3]}$ ja ${\textstyle A_{3}=[3,5[}$, niin funktiota ${\textstyle f:A\to B}$ ei voi määritellä paloittain joukkojen ${\textstyle A_{1}}$, ${\textstyle A_{2}}$ ja ${\textstyle A_{3}}$ avulla, sillä ehdot 1. ja 2. eivät toteudu (${\textstyle A_{2}}$ ja ${\textstyle A_{3}}$ eivät ole erillisiä joukkoja ja luku 5 ei kuulu yhteenkään osajoukoista). Osajoukkoja voi olla myös äärettömän monta.

Esimerkkejä

Erikoisfunktioita

• 

  Heavisiden funktio

  Yksinkertaisimpia paloittain määriteltyjä funktioita edustaa Heavisiden funktio $H:\mathbb {R} \to \left\{0,{\frac {1}{2}},1\right\},$

$H(x)={\begin{cases}0,&{\text{ jos }}x<0\\{\frac {1}{2}},&{\text{ jos }}x=0\\1,&{\text{ jos }}x>0.\end{cases}}$

Sen määrittelyjoukko on koko reaaliakseli.

• 

  Signum-funktio

  Signum-funktio $\mathrm {sgn} :\mathbb {R} \to \{-1,0,1\},$

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{ jos }}x<0\\0,&{\text{ jos }}x=0\\1,&{\text{ jos }}x>0.\end{cases}}$

Sen määrittelyjoukko on koko reaaliakseli.

• Yleisesti ottaen kaikki porrasfunktiot ovat paloittain määriteltyjä funktioita.
• Indikaattorifunktio on paloittain määritelty funktio.
• Reaaliluvun ${\textstyle x}$ itseisarvo on paloittain määritelty funktio:

$|x|={\begin{cases}x,&{\text{ jos }}x\geq 0\\-x,&{\text{ jos }}x<0\end{cases}}$

Muita esimerkkejä

Paloittain määritellyn funktion kuvaajassa avoin ympyrä tarkoittaa määrittelyjoukon osavälin avointa päätepistettä ja suljettu vastaavasti suljettua päätepistettä.

Funktio ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$,

$f(x)={\begin{cases}(x+1)^{2},&{\text{ jos }}x<-1\\-x,&{\text{ jos }}-1\leq x<1\\{\sqrt {x-1}},&{\text{ jos }}x\geq 1\end{cases}}$

on paloittain määritelty koko reaaliakselilla ja se koostuu kolmesta eri funktiosta, jotka on määritelty omilla osaväleillään ${\textstyle ]-\infty ,-1[}$, ${\textstyle [-1,1[}$ ja ${\textstyle [1,\infty [}$. Osa funktion graafista on esitetty viereisessä kuvassa.

Paloittain määriteltyjen funktioiden ominaisuuksia

Yhden reaalimuuttujan reaaliarvoiset funktiot

• Jos funktion määrittelevät osafunktiot ovat jatkuvia, niin paloittain määritelty funktio on paloittain jatkuva.

• Paloittain määritelty funktio on jatkuva, jos se on paloittain jatkuva ja lisäksi jokaisessa määrittelyvälin reunapisteessä ${\textstyle a}$ pätee jatkuvuusehto

$\lim _{x\to a-}f(x)=f(a)=\lim _{x\to a+}f(x)$.