Painlevén yhtälöt

Painlevén yhtälöt ovat kuudesta toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöstä muodostuva joukko. Ne kuvasi ensimmäisenä ranskalainen matemaatikko Paul Painlevé vuosina 1893–1902.

Painlevé luokitteli toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä löytääkseen niiden ratkaisuna esiintyviä uusia erikoisfunktioita. Luokittelussaan hän päätyi tulokseen, että kaikki polynomikertoimiset toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt voidaan sopivin muunnoksin jakaa viiteenkymmeneen kanoniseen muotoon. Edelleen kävi ilmi, että 44 näistä kanonisista muodoista "redusoituu" siten, että ne voitiin ratkaista käyttämällä silloin tunnettuja erikoisfunktioita. Kuusi yhtälöä jäi siis vaille tunnettua ratkaisua. Niiden ratkaisut tunnetaan nykyisin Painlevén transkendentteinä.

Nämä yhtälöt ovat

• I:

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=6y^{2}+\lambda t$

• II:

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=2y^{3}+ty+\mu$

• III:

$ty{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=t\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-y{\frac {dy}{dt}}+at+by+cy^{3}+dty^{4}$

• IV:

$y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}+2(t^{2}-b)y^{2}+4ty^{3}+{\frac {3}{2}}y^{4}$

• V:

$t^{2}(y-y^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{2}}t^{2}(1-3y)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-ty(1-y){\frac {dy}{dt}}+ay^{2}(1-y)^{3}+b(1-y)^{3}+cty(1-y)+et^{2}y^{2}(1+y)$

• VI:

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{t}}+{\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right){\frac {dy}{dt}}+{\frac {y(y-1)(y-t)}{t^{2}(t-1)^{2}}}\left(\alpha +\beta {\frac {t}{y^{2}}}+\gamma {\frac {t-1}{(y-1)^{2}}}+\delta {\frac {t(t-1)}{(y-t)^{2}}}\right)$

Yhtälöt I–III julkaisi Painlevé, IV–V hänen oppilaansa B. Gambier ja viimeisen yhtälön Richard Fuchs. Yhtälöistä kolmella ensimmäisellä kaikki singulariteetit ovat liikkuvia, kun kolmella jälkimmäisellä on myös kiinteitä singulariteettejä.

Aiheesta muualla

• Painlevé equations (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
• Painlevé transcendents MathWorldissa (englanniksi)