Osajoukko

Joukko B on joukon A osajoukko, jos jokainen joukon B alkio kuuluu joukkoon A, merkitään $B\subset A$. Tällöin sanotaan myös, että B sisältyy joukkoon A. Kaikkien osajoukkojen muodostamaa joukkoa kutsutaan potenssijoukoksi ja merkitään ${\mathcal {P}}(A)$.

B ⊆ A Venn-diagrammina

Formaalisti määritellään, että

$B\subset A$, kun $\forall b\in B:b\in B\Rightarrow b\in A$.

Joukko B on joukon A aito osajoukko, jos se on joukon A osajoukko, mutta B ei ole sama kuin A, B ≠A. Aitoa osajoukkoa merkitään usein $B\subset A$, jolloin osajoukkoa merkitään $B\subseteq A$.

Jokainen joukko C on itsensä osajoukko, $C\subseteq C$. Tyhjä joukko ∅ on jokaisen joukon osajoukko ja aito osajoukko jokaiselle joukolle paitsi itselleen.

Kun joukossa on n alkiota, siitä voidaan muodostaa $\scriptstyle 2^{n}$ osajoukkoa.

Esimerkkejä:

1. Joukko {1, 2} on joukon {1, 2, 3} aito osajoukko.

Sen kaikki osajoukot ovat ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.

2. $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

3. Joukko A₀ = {b ∈ R : b ≤ 0} on joukon A₁ = {b ∈ R : b ≤ 1} osajoukko.

4. Joukko S = {Merkurius, Venus, Maa} on joukon P = {Aurinkokuntamme planeetat} osajoukko.

Kirjallisuutta

• Merikoski, Jorma – Virtanen, Ari – Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001. ISBN 951-44-3604-0.
• Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Osajoukko Wikimedia Commonsissa