Lineaarinen funktio

Lineaarinen funktio on polynomifunktio, jonka asteluku on 1. Sen yleinen matemaattinen lauseke voidaan esittää muodossa

Lineaarisen funktion kuvaajat ovat suoria. Lausekkeen kulmakerroin määrää kuvaajan jyrkkyyden ja vakio kuvaajan leikkauskohdan y-akselin kanssa.

$f(x)=ax+b\qquad a,b\in \mathbb {R}$

missä a on kulmakerroin ja b vakio. Funktion nimessä lineaarinen viittaa kuvaajan muotoon, joka on suora. Lineaarisia funktioita käytetään matemaattisessa mallinnuksessa talouden, tieteen ja tekniikan aloilla. Niillä on polynomifunktioiden oheella merkittävä rooli matematiikan kouluopetuksessa eri maissa.

Erikoistapaukset

Lineaarisella funktiolla on kolme erikoistapausta riippuen sen parametrien arvoista.

• Kun a = 0, saadaan $f(x)=b$, koska $f(x)=0x+b=b$. Tätä kutsutaan vakiofunktioksi ja se saa kaikilla x:n arvoilla saman vakioarvon b. Vakiofunktion erikoistapaus on nollafunktio, jonka arvoksi tulee aina nolla (ei mitään).

• Kun a ≠ 0 ja b = 0, saadaan $f(x)=ax$, koska $f(x)=ax+0=ax$. Silloin funktion arvo f(x) ja muuttuja x ovat suoraan verrannolliset eli $f(x)\sim x$. Jos funktion kerroin a = 1, saadaan $f(x)=xa=x$. Funktio on tällöin identiteettifunktio, jolla funktion f(x) arvo on sama kuin muuttujan x arvo.

Vakiofunktioiden kuvaajia.

Suoraan verrannollisten funktioiden kuvaajia.

Kun vakiotermi $b=0$, niin lineaarinen funktio $f(x)=ax$ on pariton funktio

$f(-x)=a(-x)=-ax=-f(x).~$

Tapauksessa $a=0$ funktio $f(x)=b$ on vakiofunktiona parillinen funktio.

Funktion yleisiä ominaisuuksia

Monotonisuus

Lineaarinen funktio on aidosti monotoninen. Funktio on aidosti kasvava, kun kulmakerroin $a>0$ ja aidosti vähenevä, kun $a<0$.

Vakiofunktiolla $a=0$ ja sen kuvaaja kulkee vaakasuoraan. Tällöin funktio on vain monotoninen. Se voidaan tulkita sekä kasvavaksi että väheneväksi funktioksi.

Käänteisfunktio

Koska lineaarinen funktio on monotoninen, on sillä olemassa käänteisfunktio. Ainoa poikkeus säännöstä on vakiofunktio, jolla ei ole käänteisfunktiota. Funktion

$f(x)=ax+b$

käänteisfunktio voidaan muodostaa

$f^{-1}(x)={\frac {1}{a}}x-{\frac {b}{a}}$

Derivaatta ja integraali

Yleisen lineaarisen funktion derivaattafunktio on vakiofunktio

$f'(x)=D(ax+b)=a~$

ja integraalifunktio

$F(x)=\int (ax+b)dx={\frac {ax^{2}}{2}}+bx+C$.

Välillä $[a,b]$ lineaarisen funktion f(x) kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alan A voi laskea puolisuunnikassäännöllä tarkasti ilman integrointia

$A=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

Lineaarinen funktio mallinnuksessa

Lineaarinen funktiota käytetään lineaarisessa mallinnuksessa, jolla approksimoidaan kohdefunktiota. Se on samalla yksi huonoimpia malleja, sillä se huomioi kohdefunktion ominaisuuksia minimaalisesti, mutta toisaalta se on nopea laskea. Siksi se on suosittu valinta tietokonesimulaatioissa. Funktion $f(x)=ax+b$ parametrit a,b valitaan siten, että funktio kuvaa kohdefunktiota hyvin. Parametrien valintatapoja on erilaisia.

Korrelaatiosuora

Lineaarisen funktion kuvaaja on sovitettu kulkemaan kertoimien a,b arvojen taitavalla valinnalla mahdollisimman hyvin kohdefunktion arvojoukon läpi.

Moniosainen lineaarinen interpolaatio muodostuu murtoviivasta, jota esittää paloittainen lineaarinen funktio.

Kohdefunktion tunnettuja arvoja voi approksimoida lineaarisella funktiolla, jonka kertoimet a,b määritetään regressioanalyysillä käyttäen pienimmän neliösumman menetelmällä . Kohdefunktion arvojen ja lineaarisen funktion arvojen vastaavuutta voidaan mitata korrelaatiokertoimella. Jos korrelaatiokerroin on 1, on myös kohdefunktion arvot lineaarisesti riippuvia muuttujastaan x ja niiden kautta voidaan piirtää suora. Jos korrelaatiokerroin on alle 1, ei lineaarinen funktio kuvaa kohdefunktion arvoja tarkasti.

Kohdefunktion lauseketta ei tarvitse tällä menetelmällä tuntea. Riittää, että tietää riittävästi (x,f(x))-pareja, joiden kulkua approksimoidaan tilastollisesti.

Lineaarinen interpolaatio

Kohdefunktio voidaan korvata lineaarisella funktiolla, joka approksimoi sitä hyväksyttävällä virheellä. Yksinkertaiseen interpolointiin tarvitaan kaksi kohdefunktion arvoa kohdista a ja b, joiden avulla lasketaan arvoparit (a,f(a)) ja (b,f(b)). Arvoparien kautta sovitetaan suora, jonka kulku voidaan esittää lineaarisena funktiona g(x):

$g(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$

Lineaarinen funktio muodostamista kahden pisteen avulla kutsutaan myös Lagrangen interpolaatiopolynomi-menetelmäksi ja saatua suoraa saatetaan kutsua myös sekantiksi.

Moniosainen interpolointi suoritetaan siten, että kohdefunktion määrittelyalue jaetaan useaan osaväliin, joiden päätepisteissä määritetään kohdefunktion arvot. Sitten muodostetaan murtoviiva, joka kulkee päätepisteiden kautta ja ilmaistaan tämä paloittaisen funktiona.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.