kvaterniot ovat kompleksilukujen nelikomponenttinen laajennus, jossa yhden imaginääriakselin i sijaan on käytössä kolme ei-reaalista akselia i, j ja k
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.
Kvaternio on muotoa , jossa , , ja ovat reaalilukuja ja , ja ovat peruskvaternioita. Imaginääristen peruskvaternioiden laskusäännöt määrittää kaava
.
Reaali- ja kompleksiluvuista poiketen kvaterniot eivät ole vaihdannaisia kertolaskun suhteen. Ne muodostavat neliulotteisen lukujoukon, jota merkitään keksijänsä Hamiltonin kunniaksi merkillä . Kvaterniot voidaan myös ymmärtää reaaliluvun ja kolmiulotteisen vektorin yhdistelmäksi.
Myöhemmin kehitetyt vektorit ovat havainnollisempina jossain määrin syrjäyttäneet kvaterniot ja jotkut matematiikan historioitsijat pitävätkin niitä lähinnä historiallisesti merkittävinä huolimatta siitä, että niillä on monia sovelluksia eri aloilla.
Toisin kuin aikaisemmat lukualueen laajennukset, kvaternioita ei kehitetty tarpeesta saattaa minkääntyyppistä yhtälöä ratkeavaksi, vaan tavoitteena oli laajentaa lukualuetta kahdesta ulottuvuudesta kolmeen. Kvaterniot lopulta keksinyt matemaatikko Sir William Rowan Hamilton oli esittänyt kompleksiluvut järjestettyinä lukupareina, josta oli käsitteellisesti lyhyt matka järjestettyihin lukukolmikoihin. Hamilton etsi kompleksilukujen yleistystä, jonka avulla voitaisiin määritellä kertolasku, jolla olisi yhteys kolmiulotteiseen kiertoon samaan tapaan kuin tavallisten kompleksilukujen kertolaskulla on yhteys kiertoon kompleksitasolla. Kolmikoilla tämä ei kuitenkaan onnistu, eikä Hamiltonin onnistunut määritellä luvuille kertolaskua, joka vastaisi vektorin kiertoa, ja voidaankin osoittaa että tämä ei ole edes mahdollista.
Ratkaisu löytyi reaalilukunelikoista, kvaternioista. Hamiltonin itsensä mukaan hän keksi kvaternioiden ominaisuudet määrittävän peruskaavan yhtäkkisesti ollessaan vaimonsa kanssa kävelyllä. Tarinan (erään version) mukaan hän kaiversi kaavan saman tien läheisen Broughamin sillan erääseen kiveen. Hamiltonin määritelmän mukaan kvaternioiden kertolasku ei ollut vaihdannainen, esimerkiksi ≠ , vaan . Tämä oli aikanaan radikaalia eikä kvaternioita tämän vuoksi aina hyväksytty kunnolla. Ne olivat ensimmäisiä askelia kohti "algebran vapautumista", eli järjestelmien, joissa tavalliset laskulait – liitäntä-, vaihdanta-, ja osittelulaki – eivät ole voimassa, tutkimuksen alkamista. Geometriassa samankaltainen "vapautuminen" oli tapahtunut epäeuklidisten geometrioiden myötä.
Kvaterniot eivät kuitenkaan koskaan saavuttaneet kovin suurta suosiota.lähde?1900-luvun puoliväliin tultaessa muun muassa Oliver Heavisiden ja Willard Gibbsin kehittämät vektorialgebra ja -analyysi olivat syrjäyttäneet kvaterniot lähes kokonaan, huolimatta siitä että kvaternioiden merkintätapa oli Hamiltonin seuraajien mielestä vektoreihin verrattuna ylivertainen. Kvaterniot ovat kuitenkin vektoreita vaikeammin yleistettävissä useampaan kuin kolmeen ulottuvuuteen.
Nykyään kvaternioita käytetään tietokonegrafiikassa ja siihen liittyvässä geometrisessa tutkimuksessa kiertojen ja esineiden suunnan esittämiseen, sillä ne vaativat muita esitystapoja kuten matriiseja vähemmän tilaa ja niiden laskutoimitukset ovat tehokkaampia.
Kvaternioiden jakolaskun määrittelemiseksi määritellään ensin kvaternion konjugaatti eli liittoluku ja huomataan, että kun kvaternio kerrotaan liittoluvullaan, saadaan kvaternion modulin eli itseisarvon neliö:
Kvaternioiden jakolasku voidaan muuttaa kertolaskuksi laventamalla nimittäjän liittoluvulla:
Kun rinnastetaan kvaternio (1,0,0,0) reaalilukuun 1 ja peruskvaterniot , , suorakulmaisen kolmiulotteisen koordinaatiston yksikkövektoreihin, voidaan kvaterniot esittää skalaarin ja vektorin summana:
Kvaterniota jonka skalaariosa , kutsutaan puhtaaksi kvaternioksi, vektorikvaternioksi tai yksinkertaisesti vektoriksi. Vastaavasti kvaternio, jonka vektoriosa on nolla, on skalaarikvaternio tai pelkkä skalaari. Kvaterniotulon ja vektoreille määriteltyjen piste- ja ristitulon välillä on yhteys
,
jossa
ja .
Kun , eli kun kvaterniot ja ovat vektoreita, sieventyy kvaterniotulon lauseke muotoon