Kolmio

Kolmio eli kolmikulmio on yksinkertaisin monikulmio. Kaikki mahdolliset kolmiot voidaan muodostaa siten, että tasolle piirretään kolme pistettä, jotka eivät kaikki ole samalla suoralla ja jotka yhdistetään toisiinsa janoilla. Näin saatuja janoja kutsutaan kolmion sivuiksi. Minkä hyvänsä kolmen ei samalla suoralla olevan pisteen muodostama kolmio määrittää tason avaruudessa. Kolmio on myös ainoa monikulmio, joka aina määrittää avaruudessa tason. Kolmio on siten yksi tasokuvioista.

Kolmiot tyypeittäin

Kolmiot voidaan luokitella sivujen suhteellisten pituuksien mukaan seuraavasti :

Yleisessä kolmiossa kaikki sivut voivat olla eripituisia ja kaikki kulmat erisuuria.

Tasakylkisessä kolmiossa on kaksi yhtä pitkää sivua, joita kutsutaan kolmion kyljiksi. Tällaisessa kolmiossa on siis myös kaksi yhtä suurta kulmaa. Kolmatta eripituista sivua kutsutaan tällöin kolmion kannaksi.

Tasasivuisessa kolmiossa kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Tästä seuraa myös se, että kaikki tasasivuisen kolmion kulmat ovat 60 asteen suuruisia ja lisäksi se, mikä sivuista on kolmion kanta, menettää tässä tapauksessa merkityksensä. Se on siis myös säännöllinen monikulmio.

Yleinen kolmio	Tasakylkinen kolmio	Tasasivuinen kolmio

Kolmiot voidaan luokitella myös kulmien perusteella.

Teräväkulmaisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat alle 90°:n suuruisia.

Suorakulmaisessa kolmiossa on yksi kulma, joka on tasan 90°:n suuruinen. Suoraa kulmaa vastapäätä olevaa sivua kutsutaan hypotenuusaksi ja suoran kulman viereisiä sivuja kateeteiksi.

Tylppäkulmaisessa kolmiossa on yksi kulma, joka on suurempi kuin 90°.

Teräväkulmainen kolmio	Suorakulmainen kolmio	Tylppäkulmainen kolmio

Kolmioiden yleisiä ominaisuuksia

Kolmioita koskee joukko geometrisia lauseita, jotka ovat olleet tunnettuja jo vanhalla ajalla, kuten Eukleideen teos Elementa osoittaa.

Kaikissa kolmioissa on kulmien summa 180 astetta eli kaksi suoraa kulmaa. Kuten kaikissa konvekseissa monikulmioissa (vanhahtava termi: kupera monikulmio), on kolmiossakin sen kulmien suplementtikulmien summa 360 astetta.

Kolmion korkeusjanoiksi sanotaan janoja, jotka johtavat sen kärjistä vastakkaiselle sivulle ja leikkaavat sen kohtisuorasti. Ne leikkaavat toisensa samassa pisteessä. Myös kolmion keskijanat, jotka johtavat kolmion kärjistä vastakkaisten sivujen keskipisteisiin, leikkaavat toisensa samassa pisteessä, samoin kuin kolmion kulmanpuolittajat ja sen keskinormaalit. Niiden leikkauspisteitä sanotaan kolmion merkillisiksi pisteiksi. Tasasivuisilla kolmiolla kaikki nämä leikkauspisteet yhtyvät.

Kolmion jokainen sivu on aina lyhempi kuin kahden muun sivun summa. Tätä tosiasiaa sanotaan kolmioepäyhtälöksi.

Terävien kulmien Trigonometriset funktiot määritellään suorakulmaisen kolmion avulla. Kaikille kulmille ne voidaan yleistää yksikköympyrän avulla. Trigonometrisia funktioita voidaan Sinilauseen ja kosinilauseen avulla soveltaa kaikkiin kolmioihin. Niinpä jos tarpeeksi monta kolmion sivuista ja kulmista tunnetaan, voidaan loputkin laskea.

Pythagoraan lause

Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan (suoran kulman vastaisen sivun) neliö on yhtä suuri kuin muiden sivujen eli kateettien neliöiden summa. Jos hypotenuusan pituus on c ja kateettien a ja b, tämä voidaan ilmaista yhtälöllä

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,$

Tämä pätee myös kääntäen: jos kolmion sivut toteuttavat tämän yhtälön, sivujen a ja b välinen kulma on suora.

Yhdenmuotoisuussääntö

Jos kahdessa kolmiossa on kolme yhtä suurta kulmaa, kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Kolmiot ovat yhdenmuotoisia myös, jos niissä toisiaan vastaavien sivujen suhteet ovat samat kaikille kolmelle sivulle.

Yhtenevyyssäännöt

Jos kahdessa kolmiossa on vähintään kolme yhtä suurta, toisiaan vastaavaa osaa, sivua tai kulmaa, eivätkä ne kaikki ole kulmia, ovat loputkin osat yhtä suuria eli kolmiot ovat yhtenevät. Näistä yhtenevyyslauseista käytetään lyhenteitä, joissa S tarkoittaa sivua ja K kulmaa:

• SKS: Jos kahdessa kolmiossa kaksi sivua ja niiden välinen kulma ovat yhtä suuret, ovat kolmiot yhtenevät.
• SSS: Jos kahdessa kolmiossa kaikki toisiaan vastaavat sivut ovat yhtä suuret, ovat kolmiot yhtenevät.
• KSK: Jos kahdessa kolmiossa kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu ovat yhtä suuret, ovat kolmiot yhtenevät.
• SKK: Jos kahdessa kolmiossa kaksi kulmaa ja toisen kulman vastainen sivu ovat yhtä suuret, ovat kolmiot yhtenevät.
• SSK: Jos kahdessa kolmiossa kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma ovat yhtä suuret ja lisäksi kyseinen kulma on tylppä, ovat kolmiot yhtenevät. (Jos kyseinen kulma on terävä, on olemassa yleensä kaksi erilaista kolmiota, joilla nämä vastinosat ovat yhtä suuret.)

SSS-yhtenevyydellä on suuri merkitys tekniikassa, sillä se tekee kolmiosta jäykän kappaleen: kolmio, jonka sivut ovat jäykät, säilyttää muotonsa vaikka kulmat eivät olisi jäykkiä. Millään muulla monikulmiolla ei ole tätä ominaisuutta. Tähän perustuvat muun muassa rakennustekniikassa käytettävät ristikko- ja vinotukirakenteet.

Kolmion pinta-alan laskeminen

Kolmion pinta-alan laskeminen on yksinkertainen ongelma, joka tulee usein vastaan erilaisissa tilanteissa. On olemassa useita eri ratkaisutapoja riippuen siitä, mitä kolmiosta tiedetään. Ohessa on eräitä usein käytettyjä kaavoja pinta-alan laskemista varten. Yleinen tapa: kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella, esim. (2 cm × 4 cm) ÷ 2 = 4 cm²

Geometrinen menetelmä

Kolmion pinta-ala S voidaan laskea kaavalla S = ½bh, jossa b (kanta) on yhden satunnaisesti valitun sivun pituus ja h (korkeus) on kannan etäisyys vastapäisestä kärjestä. Tämä voidaan esittää oheisella piirustuksella.

Kolmio muutetaan aluksi suunnikkaaksi, jolla on kaksinkertainen pinta-ala kolmioon nähden. Seuraavaksi tämä muunnetaan suorakulmioksi.

Annetun kolmion pinta-alan selvittämiseksi (kuvassa vihreällä) tehdään ensin alkuperäisestä kolmiosta kopio (sininen), kierretään se 180° ja liitetään osat yhteen. Näin saadusta suunnikkaasta leikataan palanen irti ja liitetään se nelikulmion toiselle puolelle, jolloin saadaan suorakulmio. Koska suorakulmion ala on bh, annetun kolmion pinta-alan täytyy olla ½bh.

Suunnikkaan pinta-ala ja kahden vektorin ristitulot ovat yhtä suuret.

Vektorien avulla

Suunnikkaan pinta-ala voidaan laskea myös vektorien avulla.

Jos AB ja AC ovat vektoreita, jotka osoittavat A:sta B:hen ja A:sta C:hen, nelikulmion ABDC pinta-ala on |AB × AC|, eli vektorien AB ja AC ristitulon suuruus. Lisäksi |AB × AC| = |h × AC|, missä h on korkeus h vektorina.

Kolmion ABC pinta-ala on puolet tästä, eli S = ½|AB × AC|.

Kolmion ABC pinta-ala voidaan laskea myös pistetulona seuraavasti:

${\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}\,.$

Korkeuden h selvittäminen trigonometrian avulla.

Trigonometrian avulla

Kolmion korkeus voidaan saada selville trigonometrian avulla. Jos käytämme vasemmalla olevan kuvan merkintöjä, korkeus on h = a sin γ. Kun tämä sijoitetaan yllä johdettuun kaavaan S = ½bh, voidaan kolmion pinta-ala ilmoittaa muodossa

$S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta .$

Koska sin α = sin (π - α) = sin (β + γ), voidaan kahdesta muusta kulmasta todeta:

$S={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).$

Suunnikkaan pinta-ala on luonnollisesti myös ab sin γ.

Koordinaattien avulla

Jos kärki A sijaitsee karteesisen koordinaattijärjestelmän origossa (0, 0), ja kahden muun kärjen koordinaatit on annettu muodossa B = (x₁, y₁) ja C = (x₂, y₂), niin pinta-ala S on puolet determinantin

${\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{vmatrix}}$

itseisarvosta, tai S = ½ |x₁y₂ − x₂y₁|.

Heronin kaavaa käyttäen

S voidaan laskea myös Heronin kaavan avulla:

$S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

missä s = ½ (a + b + c) eli puolet kolmion ympärysmitasta.

Kaava voidaan kirjoittaa myös muodossa

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.$

Tasasivuisen kolmion sivun pituus

Tasasivuisen kolmion sivun pituus voidaan laskea pinta-alasta seuraavalla kaavalla:

$s={\frac {2{\sqrt[{2}]{A}}}{\sqrt[{4}]{3}}}$

jossa s on sivun pituus ja A pinta-ala.

Mielivaltaisen kolmion yhden sivun pituus

Mielivaltainen kolmio

Jotta mielivaltaisen kolmion pinta-alasta voitaisiin ratkaista sivujen pituuksia, on tunnettava sivujen väliset kulmat. Yhden sivun pituus on:

$s={\sqrt[{2}]{\frac {2A(1+{\frac {\left|\tan \alpha \right|}{\left|\tan \beta \right|}})}{\left|\tan \alpha \right|}}}$

jossa α ja β ovat s:n viereiset kulmat. Jos α tai β on 90°, käytettävä kaava on

$s={\sqrt[{2}]{\frac {2A}{\tan \alpha }}}$

jossa α on se s:n viereinen kulma, joka ei ole 90°.

Muita esimerkkejä

Jos kolmiossa kulma α on kaksi kertaa niin suuri kuin kulma β, niin kolmion sivun pituuksille on voimassa yhtälö a² = b² + bc, missä a on kulman α vastaisen sivun pituus, b on kulman β vastaisen sivun pituus ja c on kolmannen sivun pituus.

Katso myös

• Kolmioluku

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 25.8.2013).

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• Kolmion pinta-ala-, sivu- ja kulmalaskuri Laskuri jonka avulla voidaan laskea kolmion pinta-ala, sivut ja kulmat.
• Kolmiolaskuri Laskee esimerkiksi pinta-alan kun tiedetään sivut.