Karakteristinen polynomi
Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.
Lähtökohta muokkaa
Annetulle neliömatriisille on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat :n ominaisarvot.
Päädiagonaalimatriisi muokkaa
Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa , missä , niin karakteristinen polynomi on muotoa
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.
Yleinen tapaus muokkaa
Yleisen -neliömatriisin tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku) on matriisin ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori) , että
- ,
eli
- ,
missä on yksikkömatriisi. Koska vektori on nollasta eroava, on matriisin oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on . Tämän determinantista saadun polynomin juuret ovat :n ominaisarvoja.
Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön
ratkaisuina.
Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
Formaali määritelmä muokkaa
Olkoon kunta ja -kertoiminen -matriisi. Matriisin karakteristinen polynomi on määritelmän mukaan
- ,
missä on yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla . Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla .
Esimerkki muokkaa
Lasketaan matriisin
karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:
Tämä determinantti on
Tämä on :n karakteristinen polynomi, missä on matriisin ominaisarvo.
Kirjallisuutta muokkaa
- Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.