Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Jatkuvien funktioiden väliarvolause on tärkeä lause analyysissa. Bolzanon lause on sen erikoistapaus.

Jatkuvien funktioiden väliarvolause. Huomaa, että kuvassa c ei ole sup S, vaan kuvaa yleistä tapausta (jollakin c pätee f(c) = u).

Lause kuuluu seuraavasti: olkoon $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ jatkuva funktio suljetulta väliltä $[a,b]$ reaalilukujen joukolle $\mathbb {R}$. Olkoon $u$ reaaliluku, joka toteuttaa ehdon $f(a)<u<f(b)$ tai $f(a)>u>f(b)$. Tällöin jollekin välin $[a,b]$ pisteelle $c$ pätee $f(c)=u$.

Jatkuvien funktioiden väliarvolause on intuitiivisesti itsestäänselvyys: jos esimerkiksi f on jatkuva funktio välillä [1, 2] ja sen arvot välin päätepisteissä ovat f(1) = 3 ja f(2) = 5, on f:n arvo 4 jossakin pisteiden 1 ja 2 välissä. Lauseen idea on yksinkertaisesti se, että jatkuva funktio voidaan piirtää nostamatta kynää paperista: jotta funktio voisi olla jatkuva, sen tulee yhdistää katkeamatta suorat y = 3 ja y = 5, jolloin sen on leikattava ainakin kerran suora y = 4.

Lause esitetään usein myös seuraavasti: jos jatkuvan funktion arvot suljetun välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä vastaa tapausta u = 0, ja sitä kutsutaan usein Bolzanon lauseeksi. Lause on nimetty matemaatikko Bernard Bolzanon mukaan. Toisaalta Bolzanon lauseella voidaan todistaa jatkuvien funktioiden väliarvolause tutkimalla funktiota $g(x)=f(x)-u$, jolloin $g(a)=f(a)-u<0$ ja $g(b)=f(b)-u>0$. Tällöin Bolzanon lauseen nojalla on olemassa $c\in [a,b]$, jolla $g(c)=0\iff f(c)-u=0\iff f(c)=u$.

Todistus

Todistetaan ensimmäinen tapaus f (a) < u < f (b). Tapauksen f (b) < u < f (a) todistus on samankaltainen tai voidaan palauttaa edelliseen tarkastelemalla funktiota g (x) = -f(x).

Olkoon S niiden välin [a, b] pisteiden joukko, joissa funktion arvo f(x) on pienempi tai yhtä suuri kuin u eli S = {x $\in$ [a, b] : f(x) ≤ u}. Tällöin S on epätyhjä (koska a kuuluu siihen, f(a) < u) ja ylhäältä rajoitettu ylärajan ollessa b. Reaalilukujen täydellisyysaksiooman nojalla joukolla S on olemassa supremum eli pienin yläraja c = sup S. Väite: f (c) = u.

Oletetaan ensin, että f(c) > u. Silloin f(c) - u > 0. Koska funktio f on jatkuva eli $\lim _{x\to \ c}f(x)=f(c)$, on funktion raja-arvon määritelmän perusteella olemassa δ > 0 siten että | f(x) - f(c) | < f(c) - u aina kun | x - c | < δ. Mutta silloin voidaan ratkaista -( f(c ) - u) < f(x) - f(c) < f(c) - u eli f(x) > f(c) - ( f(c) - u ) = u aina kun | x - c | < δ, siis f (x) > u kaikille x $\in$ ( c - δ, c + δ). Siten c - δ on joukon S yläraja, joka on pienempi kuin c, ristiriita (c ei nyt voi olla joukon S pienin yläraja).

Oletetaan seuraavaksi, että f(c) < u. Nyt u - f(c) > 0 ja jatkuvuuden nojalla on olemassa δ > 0 siten, että | f(x) - f(c) | < u - f(c) aina kun | x - c | < δ. Silloin -(u - f(c)) < f(x) - f(c) < u - f(c) eli f(x) < f(c) + (u - f (c)) = u kaikille x $\in$ ( c - δ, c + δ). Siten on olemassa x > c, jolle f(x) < u, taas ristiriita c:n määritelmän kanssa (c ei nyt voikaan olla joukon S yläraja).

Koska ei voi olla f(c) < u eikä f(c) > u, tulee olla f(c) = u. □

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• Intermediate value Theorem – Bolzano Theorem