Galilei-invarianssi

Galilei-invarianssi on periaate, jonka mukaan luonnonlait pätevät kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Galileo Galilei kuvasi periaatteen ensimmäisenä vuonna 1632 Dialogissaan. Esimerkkinä hän käytti tasaisella nopeudella huojumatta etenevää laivaa. Kannen alla oleva havaitsija ei voi saada millään kokeella selville liikkuuko laiva ja hän itse mukana vai ei.

Nykytulkinnan mukaan Galilei-invarianssilla tarkoitetaan, sitä että Newtonin mekaniikka pätee kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Tämä vuoksi saatetaan periaatteeseen viitata myös Newtonin suhteellisuutena.

Matemaattinen muotoilu

Inertiaalikoordinaatistot ${\textstyle K}$ ja ${\textstyle K'}$ liikkuvat toistensa suhteen ${\textstyle x_{1}}$- ja ${\textstyle x_{1}'}$-akselien suuntaisesti nopeudella ${\textstyle \mathbf {v} }$.

Newtonin mekaniikassa avaruus ja aika ovat kaksi erillistä asiaa ja ajan katsotaan olevan absoluuttista ja tarkastelukoordinaatistosta riippumatonta (vrt. erityiseen suhteellisuusteoriaan). Näiden oletusten seurauksena fysiikan lait säilyvät muuttumattomina muunnoksissa inertiaalikoordinaatistosta toiseen. Tarkastellaan kahta inertiaalikoordinaatistoa, ${\textstyle K}$ ja ${\textstyle K'}$, jotka liikkuvat toistensa suhteen ${\textstyle x_{1}}$- ja ${\textstyle x_{1}'}$-akselien suuntaisesti vauhdilla ${\textstyle v}$. Tällöin paikkakoordinaattien muunnos koordinaatistosta toiseen on:

${\begin{cases}x_{1}'=x_{1}-vt\\x_{2}'=x_{2}\\x_{3}'=x_{3}\end{cases}}$

Lisäksi absoluuttisesta ajasta johtuen $t'=t$. Nämä yhtälöt määrittelevät Galilei-muunnoksen.

Galilei-muunnoksen ominaisuuksia

Differentiaalinen pituusalkio on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa:

$\mathrm {d} s^{2}=\sum _{i}\mathrm {d} x_{1}^{2}=\sum _{i}(\mathrm {d} x_{i}')^{2}=(\mathrm {d} s')^{2}$.

Newtonin toinen laki on Galilei-invariantti:

$F_{i}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x_{i}'}{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{i}'$.

Galilei-muunnos ei kuitenkaan ole täysin sopusoinnussa erityisen suhteellisuusteorian vaatimusten kanssa. Oletetaan, että koordinaatiston ${\textstyle K'}$ mukana kulkee ${\textstyle x_{1}'}$-akselin suuntaan osoittava taskulamppu. Taskulampusta lähtevän valonsäteen nopeus on Galilei-muunnoksen perusteella

${\frac {\mathrm {d} x_{1}'}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}-v$.

Jos valon nopeudeksi mitataan ${\textstyle \mathrm {d} x_{1}'/\mathrm {d} t=c}$ koordinaatistossa ${\textstyle K'}$, niin koordinaatistossa ${\textstyle K}$ se on

${\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}=c+v$.

Tämä on ristiriidassa erityisen suhteellisuusteorian kanssa, sillä valonnopeus on vakio koordinaatistosta riippumatta.