Dedekindin zeetafunktio

Matematiikassa algebrallisen lukukunnan Dedekindin zeetafunktio ζ_K(s) on yleistys Riemannin zeeta-funktiosta, joka on erikoistapaus jolloin K on rationaalilukujen joukko Q. Dedekindin zeetafunktiolla on paljon yhteistä Riemannin zeetafunktion kanssa: se määritellään Dirichlet'n sarjana, se voidaan kirjoittaa Eulerin tulona, sillä on funktionaaliyhtälö, se voidaan jatkaa analyyttisesti meromorfiseksi funktioksi kompleksitasoon C yksinkertaisella navalla arvolla s = 1. Se antaa aritmeettista informaatiota kunnasta K. Laajennettu Riemannin hypoteesi sanoo että jos ζ_K(s) = 0 ja 0 < Re(s) < 1, niin Re(s) = 1/2.

Zeetafunktio on nimetty Richard Dedekindin mukaan.

Määritelmä

Olkoon K algebrallinen lukukunta. Tällöin sen Dedekindin zeetafunktio kompleksiluvuille s niin että Re(s) > 1 määritellään Dirichlet'n sarjana

$\zeta _{K}(s):=\sum _{\mathfrak {a}}{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})}^{-s}$

missä ${\mathfrak {a}}$ kulkee kaikkien kunnan $K$ kokonaislukuideaalien läpi ja ${\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})$ on niiden absoluuttinormi. Se voidaan kirjoittaa Eulerin tulona

$\zeta _{K}(s)=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {p}})}^{-s}}}$

missä ${\mathfrak {p}}$ kulkee kaikkien kunnan $K$ alkuideaalien yli.