Arvojoukko

Arvojoukko eli kuvajoukko tarkoittaa matematiikassa kaikkien funktion arvojen muodostamaa joukkoa.

Määrittelyjoukosta X kuvataan kaikki sen luvut funktion arvoiksi f(x) maalijoukkoon Y. Arvojoukko f(x) voi olla maalijoukon aito osajoukko.

Funktio on kuvaus lukujoukosta X joukkoon Y, mikä merkitään usein f: X → Y. Tässä joukko X on lähtöjoukko ja Y maalijoukko. Lähtöjoukon luvut x ovat kuvauksessa funktion lausekkeen argumentteja eli ne sijoitetaan funktion lausekkeen muuttujan paikalle. Sijoitetun lausekkeen laskettu arvo y, jota kutsutaan myös funktion arvoksi, on maalijoukon luku. Tulos voidaan merkitä f(x) = y .

Jos lähtöjoukko on funktion määrittelyjoukko, muodostuu arvojoukko A niistä luvuista, jotka saadaan laskettaessa funktion arvoja jokaisella määrittelyjoukon luvulla.

$A=\{y\in Y:y=f(x){\mbox{ kaikilla }}x\in X\}.$

Matematiikassa arvojoukko voi olla maalijoukon osajoukko.

Koordinaatistossa

Määrittelyjoukko on merkitty x-akselille vihreällä värillä ja arvojoukko on y-akselilla punaisella värillä.

Analyyttisessä geometriassa funktion kuvaaja muodostetaan koordinaattipisteillä, jossa x-koordinaatiksi valitaan jokin määrittelyjoukon luku ja y-koordinaatiksi tulee x:n avulla laskettu funktion arvo. Voidaan tulkita tilannetta niin, että lähtöjoukon luvut sijaitsevat x-akselilla ja maalijoukon luvut y-akselilla. Koordinaatiston pisteillä osoitetaan, mitkä lukuparit liittyvät kuvauksessa toisiinsa.

Määrittelyjoukko on x-akselilla se lukuväli tai pistejoukko, jolla funktio voidaan tai halutaan laskea. Arvojoukoksi muodostuu ne y-akselin pisteet, jotka saadaan määrittelyjoukon pisteistä. Kyseiset lukujoukot voidaan merkitä koordinaattiakseleille pisteinä tai väleinä.

Esimerkkejä

Parillisilla potenssifunktioilla on epänegatiivinen arvojoukko.

Toisen asteen potenssifunktiolle $f(x)=x^{2}$ voidaan määrittää kuvaus yleisesti

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$.

Neliöönkorotus on mahdollista suorittaa kaikille reaaliluvuille, joten lähtöjoukko on samalla määrittelyjoukko. Sen sijaan maalijoukoksi on merkitty myös reaaliluvut, mikä on tälle kuvaukselle liian laaja. Kun kaikki reaaliluvut korotetaan neliöön, saadaan vain epänegatiivisia lukuja eli $[0,\infty [$. Arvojoukko muodostuu vain näistä luvuista ja silloin arvojoukko on maalijoukon osajoukko.

Mikäli edellisessä esimerkissä olisi määritelty kuvaus

$f:\mathbb {R} \to [0,\infty [$

olisi maalijoukko ollut myös arvojoukko. Sama ilmiö havaitaan kaikilla parillisilla potenssifunktioilla.

Lähteet

• Wolfram Mathworld: Range
• Purple Math: Domain and Range

Kirjallisuutta

• Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).