Apollonioksen ongelma
Apollonioksen ongelmassa on tarkoituksena löytää ympyrä, joka sivuaa kolmea kuviota, joista kukin voi olla piste, suora tai mielivaltainen ympyrä. Ongelma on saanut nimensä kreikkalaisesta matemaatikko Apollonios Pergeläisestä, joka ratkaisi ongelman kymmenestä versiosta kaikki lukuun ottamatta vaikeinta, jossa ympyrä piirretään sivuamaan kolmea ympyrää. Kahteen helpoimpaan versioon, kolmen pisteen ja kolmen suoran tapauksiin oli esitetty ratkaisu jo Eukleideen Alkeissa.[1] Kolmen ympyrän version ratkaisi 1500-luvulla ranskalainen matemaatikko Viéte.[2] Tälle versiolle on kahdeksan mahdollista ratkaisua, jota oikealla oleva kuva havainnollistaa.
Apollonioksen ongelma voidaan ratkaista peilauksena ympyrän suhteen. Ensin kasvatetaan tai pienennetään ympyröitä saman verran, kunnes kaksi ympyrää sivuaa toisiaan. Nyt peilaus sivuamispisteen suhteen muuntaa toisiaan sivuavat ympyrät kahdeksi yhdensuuntaiseksi suoraksi. Sama muunnos muuntaa kolmannen ympyrän joksikin toiseksi ympyräksi. Nyt voidaan konstruoida ympyrä, jonka tangentteina ovat saadut kaksi suoraa ja joka koskettaa kolmatta ympyrää. Ottamalla vielä alkuperäisen peilauksen käänteispeilaus saadaan haluttu ympyrä.
Lähteet muokkaa
- ↑ Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa I, s. 214–215. "Apollonioksen probleema". Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0.
- ↑ Weisstein, Eric W.: Wolfram MathWorld Wolfram Research Inc.. Viitattu 14.lokakuuta 2007. (englanniksi)
Kirjallisuutta muokkaa
- Ogilvy, C. Stanley (1990): Excursions in Geometry, Dover. ISBN 0-486-26530-7.
Aiheesta muualla muokkaa
Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Apollonioksen ongelma Wikimedia Commonsissa
