Alkulukulause

Lukuteoriassa alkulukulause antaa alkulukujen jakauman asympoottisen arvion. Karkeasti ottaen alkulukulauseen mukaan satunnaisesti valittu positiivinen kokonaisluku N on todennäköisyydellä 1 / ln N alkuluku, missä ln N on N:n luonnollinen logaritmi. N:n kasvaessa alkuluvut käyvät yhä harvemmiksi. Esimerkiksi kun N = 10 000, keskimäärin joka yhdeksäs luku on alkuluku, kun taas arvolla N = 1 000 000 000 suunnilleen joka 21. luku on alkuluku. Alkulukulause antaa arvion tälle harvenemisnopeudelle.

Väite

Funktioiden π(x) (punainen), x / ln x (vihreä) ja Li(x) (sininen) kuvaajat.

Olkoon π(x) lukua x + 1 pienempien alkulukujen lukumäärä. Tällöin alkulukulauseen mukaan osamäärän π(x) ln(x) / x raja-arvo on 1, kun x kasvaa rajatta. Käyttäen Landaun symbolia tulos voidaan ilmoittaa muodossa

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.$

Tämä ei tarkoita sitä, että näiden funktioiden erotus lähenee nollaa.

Lauseen otaksui Adrien-Marie Legendre vuonna 1796, ja sen todistivat Jacques Hadamard ja Charles-Jean de la Vallée-Poussin toisistaan riippumatta vuonna 1896. Molempien todistus perustuu funktioteoriaan. Tarkemmin sanottuna he osoittivat, että Riemannin zeeta-funktiolla $\zeta (s)$ ei ole nollakohtia, kun $Re(s)=1$.

π(x) logaritmisten integraalien avulla

Carl Friedrich Gauss otaksui alkulukulausetta tarkemman asymptoottisen arvion. Määritellään logaritminen integraali Li(x) asettamalla

${\mbox{Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,{\mbox{d}}t={\mbox{li}}(x)-{\mbox{li}}(2).$

Tästä huomataan, että alkulukujen ”tiheyden” lähellä t:tä tulisi olla 1 / ln t. Funktion yhteys logaritmiin nähdään asymptoottisesta kehitelmästä

${\mbox{Li}}(x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}={\frac {x}{\ln x}}+{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\ln x)^{3}}}+\cdots$

Siten alkulukulause voidaan kirjoittaa myös muodossa π(x) ~ Li(x). Tämän etuna on se, että arvion virhetermiä voidaan pienentää. Hadamard ja de la Vallée Poussin todistivat, että

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\mathrm {e} ^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\mbox{ja }}x\to \infty$

jollain positiivisella vakiolla a, missä O(…) on iso O-notaatio. Arviota on parannettu muotoon

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\,\exp \left(-{\frac {A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}}}\right)\right).$

Yhteys Riemannin zeetafunktion ja π(x):n välillä on niin vahva, että Riemannin hypoteesi parantaisi virhetermin arviota. Helge von Koch osoitti vuonna 1901, että Riemannin hypoteesi on tosi jos ja vain jos alkulukulause voidaan kirjoittaa muodossa

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right).$

Vakiota ison O:n sisällä pystyi arvioimaan Lowell Schoenfeld. Riemannin hypoteesista seuraisi

$|\pi (x)-{\rm {Li}}(x)|<{\frac {{\sqrt {x}}\,\ln x}{8\pi }}$

kaikilla x ≥ 2657. Hän osoitti myös samantapaisen arvion Tšebyševin funktiolle ψ:

$|\psi (x)-x|<{\frac {{\sqrt {x}}\,\ln ^{2}x}{8\pi }}$

kaikilla x ≥ 73,2.

Logaritminen integraali Li(x) on suurempi kuin π(x) kaikilla riittävän pienillä luvuilla x. Kuitenkin vuonna 1914 J. E. Littlewood todisti, että lausekkeiden suuruusjärjestys vaihtuu riittävän suurella luvulla. Ensimmäisen kerran tämä tapahtuu, kun x on suuruusluokkaa 10³¹⁶.

Katso myös

• Skewesin luku