Algebra

Algebra on geometrian ja analyysin ohella yksi matematiikan päähaaroista. Algebrassa tutkimuskohteina ovat laskutoimitusten yleiset ominaisuudet jossakin perusjoukossa, jossa ne on määritelty. Tällaisia laskutoimituksia voivat olla esimerkiksi yhteen- ja kertolasku. Laskutoimitusten määritteleminen joukkoon tuottaa algebran perusrakenteet: ryhmän, renkaan ja kunnan. Esimerkiksi vektorit muodostavat ryhmän, kokonaisluvut renkaan, rationaaliluvut ja reaaliluvut kunnan.

Lineaarialgebran luento Teknillisessä korkeakoulussa.

Eri yhteyksissä algebralla voidaan tarkoittaa seuraavia:

• alkeisalgebra eli "kirjainlasku" on alkeismatematiikan haara, jossa perusjoukkona on rationaali- tai reaalilukujen joukko. Aritmetiikasta se eroaa pääasiassa siinä, että tunnettujen, numeroilla merkittyjen lukujen ohella siinä käytetään myös tuntemattomia lukuja ja muuttujia, joita merkitään yleensä kirjaimilla, varsinkin ratkaistaessa yhtälöitä.
• Nykyaikaisessa puhtaassa matematiikassa:
  • abstrakti algebra on laaja matematiikan haara, joka käsittelee relaatiota ja laskutoimituksia.
  • algebra merkitsee myös matemaattista struktuuria. A-algebra on ykkösellinen vaihdannainen rengas B, joka on varustettu rengashomomorfismilla $A\to B$.

Alkeisalgebrassa, jota opetetaan peruskoulun yläasteella ja lukiossa, otetaan käyttöön muuttujat. Lausekkeissa, joissa niitä esiintyy, käytetään rationaali- tai reaalilukujen laskutoimituksia.

Algebra nykyaikaisen matematiikan haarana on paljon laajempi kuin alkeisalgebra. Se tutkii paitsi tavallisia lukuja, myös mitä tahansa joukkoa, jossa alkioiden välille voidaan määritellä laskutoimituksia. Sen mukaan, mitkä laskutoimitukset joukossa on määritelty ja mitä ominaisuuksia niillä on, puhutaan erilaisista algebrallisista struktuureista, joista tärkeimpiä ovat:

• monoidi
• ryhmä
• rengas
• kokonaisalue
• kunta

Algebra on yksi puhtaan matematiikan päähaaroista geometrian, analyysin, topologian, kombinatoriikan ja lukuteorian ohella.

Historia

Eräs arabiankielisistä käsikirjoituksista, jossa algebraa on käsitelty.

Algebran kehityksen voidaan katsoa alkaneen muinaisessa Babyloniassa, jossa kehitettiin aritmeettinen järjestelmä, jolla voitiin suorittaa laskutoimituksia algoritmisesti. Babylonialaiset keksivät kaavoja, joilla voitiin ratkaista ongelmia, jotka nykyisin ratkaistaisiin ensimmäisen tai toisen asteen yhtälön avulla. Sitä vastoin useimmat saman aikakauden egyptiläiset samoin kuin antiikin kreikkalaiset matemaatikot yleensä ratkaisivat yhtälöitä geometristen menetelmien avulla, joita on kuvattu esimerkiksi Rhindin papyruksessa sekä myöhemmin Eukleideen Elementassa. Kreikkalaisten geometrian tietämys, joka tyypillisimmillään esiintyy Elementassa, tarjosi lähtökohdan, jolla voitiin, paitsi ratkaista tiettyjä yhtälöitä, myös kehittää yleisempiä menetelmiä yhtälöiden laatimiseksi ja ratkaisemiseksi, joskin tämän toteuttivat vasta keskiajan islamilaiset matemaatikot.

Platonin aikaan mennessä kreikkalainen matematiikka oli suuresti muuttunut. Antiikin kreikkalaiset laativat geometrisen algebran, jossa suureita kuvattiin geometrisilla kohteilla, yleensä janoilla, joita merkittiin kirjaimilla. Ajanlaskumme kolmannella vuosisadalla aleksandrialainen matemaatikko Diofantos, jota joskus sanotaan algebran isäksi, laati Arithmetica-nimisen kirjasarjan. Nämä kirjat käsittelevät algebrallisten yhtälöiden ratkaisemista.

Sana algebra on peräisin arabian kielestä (الجبر al-jabr). Al-jabr tarkoittaa palauttamista, etenkin negatiivisten lukujen muuttamista positiivisiksi siten, että ne siirrettiin yhtälön toiselle puolelle. Käsitettä käytti persialainen matemaatikko al-Khwarizmi (noin 800–850). Hän kirjoitti teoksen "Hindunumeroitten avulla laskeminen", jossa algebraa käsitellään aritmetiikasta ja geometriasta riippumatta.

Hellenistiset matemaatikot Heron Aleksandrialainen ja Diofantos samoin kuin intialaiset kuten Brahmagupta kehittivät Egyptistä ja Babyloniasta perittyä matematiikkaa. Heidän teoksistaan huomattavimmat ovat Diofantoksen Arithmetica ja Brahmaguptan Brahmasphutasiddhanta . Esimerkiksi varhaisin täydellinen toisen asteen yhtälön ratkaisu, jossa myös nolla ja negatiiviset luvut on otettu huomioon, on peräisin Brahmaguptalta. Myöhemmin arabialaiset matemaatikot kehittivät algebralliset menetelmät paljon korkeammalle tasolle. Sen sijaan, että Diofantos ja babylonialaiset matemaatikot käyttivät enimmäkseen erilaisia ad hoc -menetelmiä yhtälöiden ratkaisemiseksi, Al-Khwarizmi kehitti yleisempiä menetelmiä. Hän ratkaisi ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöitä käyttämättä kuitenkaan algebrallisia symboleja, negatiivisia lukuja tai nollaa, ja sen vuoksi hän erotti useita eri yhtälötyyppejä.

Klassisen algebran kehitys alkoi François Vièten töistä 1500-luvun lopulla. Vuonna 1637, René Descartes julkaisi teoksen La Géométrie, jossa hän esitteli keksimänsä analyyttisen geometrian ja otti käyttöön algebran nykyiset merkintätavat. Tärkeitä edistysaskelia olivat myös kolmannen ja neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavojen keksiminen 1500-luvun puolivälissä. Determinantin idean esitti ensimmäisenä japanilainen Kowa Seki 1600-luvulla ja hänestä riippumatta Gottfried Leibniz kymmenen vuotta myöhemmin ratkaistaakseen lineaarisen yhtälöryhmän matriisien avulla. Myös Gabriel Cramer tutki matriiseja ja determinantteja 1700-luvulla. Permutaatioita tutki Joseph Lagrange vuonna 1770 artikkelissaan Réflexions sur la résolution algébrique des équations. Paolo Ruffini esitti ensimmäisenä permutaatioryhmän käsitteen, edeltäjiensä tavoin algebrallisten yhtälöiden ratkaisemisen yhteydessä.

Abstrakti algebra kehitettiin 1800-luvulla. Myös sen lähtökohtana oli yhtälöiden ratkaiseminen, ja alkuvaiheessa keskeisiä tutkimuskohteita olivat Galois'n teoria ja kysymys lukujen konstruoituvuudesta. Alan huomattavimpia tutkijoita olivat Évariste Galois, Richard Dedekind ja Leopold Kronecker.

Lähteet

Kirjallisuutta

• R. B. J. T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6
• Donald R. Hill, Islamic Science and Engineering (Edinburgh University Press, 1994).
• Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, Introducing Mathematics (Totem Books, 1999).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Penguin Books, 2000).
• I. N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
• John J O'Connor and Edmund F Robertson, MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews, 2005).
• Metsänkylä, Tauno; Näätänen, Marjatta: Algebra. Limes ry, 2003, ISBN 951-745-200-4
• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
• Haukkanen, Pentti: Algebra

Aiheesta muualla

• Matematiikkalehti Solmu, Erkki Luoma-aho: Matematiikan historia aihealueittain, Algebra ja aritmetiikka (pdf)
• Understanding Algebra. (Arkistoitu – Internet Archive) James W. Brennan. (englanniksi)
• Algebra Software (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
• Algebra Help (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
• Algebra — the basic ideas. (englanniksi)
• Highlights in the history of algebra (Arkistoitu – Internet Archive). (englanniksi)
• Explanation of Basic Topics (Arkistoitu – Internet Archive). (englanniksi)
• Sparknotes' Review of Algebra I and II. (englanniksi)
• ExampleProblems.com (Arkistoitu – Internet Archive) Example problems and solutions from basic (Arkistoitu – Internet Archive) and abstract (Arkistoitu – Internet Archive) algebra.
• Purplemath.com "Your Algebra Resource". (englanniksi)