Abelin–Ruffinin lause

Abelin–Ruffinin lauseen mukaan ei yleisellä viidennen ja sitä korkeamman asteen yhtälöllä ole juurilausekkeisiin perustuvaa ratkaisukaavaa.

Niels Henrik Abel

Abelin-Ruffinin lause ei tarkoita sitä, että viidennen ja sitä korkeamman asteen yhtälöt ovat ratkaisemattomia. Itse asiassa jos polynomi on reaali- tai kompleksikertoiminen, yhtälöllä on aina juuria kompleksitasossa. Tämä on nimeltään algebran peruslause. Vaikka ratkaisuja ei voida laskea tarkasti, niitä voidaan laskea numeerisilla menetelmillä niin tarkasti kuin halutaan. Käytettyjä menetelmiä ovat Newtonin-Raphsonin menetelmä ja Laguerren menetelmä.

Alempien asteiden yhtälöt

Esimerkiksi toisen asteen polynomiyhtälö voidaan aina ratkaista äärellisen monen yhteen- vähennys- kerto- ja jakolaskun avulla. Nimittäin yhtälön ax² + bx + c = 0 juuret ovat

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$

Samanlaiset kaavat tunnetaan kolmannen- ja neljännen asteen polynomiyhtälöille. Kaavat on tunnettu jo 1500-luvulta alkaen.

Viidennen ja korkeamman asteen yhtälöt

Esimerkiksi yhtälöä x⁵ - x + 1 = 0 ei voida ratkaista juurilausekkeiden avulla. Joitakin viidennen asteen yhtälöitä sen sijaan voidaan, esimerkiksi x⁵ - x⁴ - x + 1 = 0. Évariste Galois kehitti teorian sille, mitkä polynomiyhtälöt voidaan ratkaista juurilausekkeiden avulla: ne ja vain ne joiden Galois'n ryhmä on ratkeava. Kolmannen- ja neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavojen perusteella ovat symmetriset ryhmät S₂, S₃ ja S₄ ratkeavia, mutta S_n ei ole kun n≥5. Ryhmien ratkeavuus voidaan kuitenkin osoittaa helpommin ryhmän kompositiojonon avulla kuin ratkaisukaavan perusteella.

Historiaa

Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni, 1799

Lauseen todisti ensimmäisenä Paolo Ruffini vuonna 1799, mutta hänen todistuksensa sisälsi pienen aukon. Ruffini todistus perustui permutaatioryhmiin. Lauseelle esitti todistuksen myös Niels Henrik Abel vuonna 1824. Évariste Galois tutki ongelmaa syvällisemmin, ja hänen mukaansa onkin nimetty Galois'n teoria, johon myös Abelin-Ruffinin lause kuuluu.

Aiheesta muualla

• Lauseen todistus^{[vanhentunut linkki]}
• Abel och lösbara ekvationer av primtalsgrad (Arkistoitu – Internet Archive)