Ero sivun ”Cantorin joukko” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Botti poisti: sr:Kantorov skup |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 20:
Cantorin joukkoon kuuluu kuitenkin myös suuri joukko [[irrationaaliluku]]ja. Voidaan myös osoittaa, että se on [[ylinumeroituva]], eli se on aidosti mahtavampi joukko kuin luonnollisten lukujen joukko <math>\mathbb{N}</math>. Todistus perustuu siihen, että Cantorin joukon pisteet voidaan esittää 3-kannassa desimaaliesityksinä, joissa ei ole mukana ykkösiä (vain 0 ja 2). Tämän jälkeen ylinumeroituvuus voidaan todistaa [[Cantorin diagonaaliargumentti|Cantorin diagonaaliesityksen]] tapaan.
== Dynaaminen iterointiin perustuva tulkinta ==
Cantorin joukolle voidaan antaa myös dynaaminen [[Iterointi|iterointiin]] perustuva määritelmä, joka on vastaavanlainen kuin esimerkiksi se tapa, jolla [[Mandelbrotin joukko]] yleensä määritellään.
Olkoon <math>\mathbf{}T: \mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> kuvaus, joka on määritelty niin, että
<center><math>\mathbf{}T(x)=\Big\{ \begin{array}{ll}3x & \textrm{kun}\ x\leq 1/2 \ \textrm{ja} \\3-3x & \textrm{kun}\ x>1/2.\end{array} </math></center>
Kyseessä on siis "sahalaita-kuvaaja", jolla <math>\mathbf{}T(x)\geq 0</math> tarkalleen silloin kun <math>\mathbf{}x\in [0,1]</math>, se saa maksimiarvonsa <math>\mathbf{}3/2</math> pisteessä <math>\mathbf{}x=1/2</math> ja arvon <math>\mathbf{}0</math> pisteissä <math>\mathbf{}x=0</math> ja <math>\mathbf{}1</math>, ja lisäksi <math>\mathbf{}T(x)</math> lähestyy raja-arvoa <math>\mathbf{}-\infin</math> ("miinus ääretön"), kun <math>\mathbf{}x</math> lähestyy raja-arvoa <math>\mathbf{}\infin</math> tai <math>\mathbf{}-\infin</math>.
Määritellään reaaliluvun <math>\mathbf{}x</math> [[Positiivinen kehä|positiivinen kehä]] kuvauksen <math>\mathbf{}T</math> suhteen nyt niiden reaalilukujen joukoksi, jonka alkiot on saatu iteroimalla arvoa <math>\mathbf{}x</math> kuvauksella <math>\mathbf{}T</math> mielivaltaisen monta kertaa, eli kyseessä ovat luvut <math>\mathbf{}\{x,T(x),T(T(x)), T^{3}(x), T^{4}(x),\cdots \}</math>, missä <math>\mathbf{}T^{n}(x)</math> on lyhennysmerkintä sille, että arvoa <math>\mathbf{}x</math> on iteroitu <math>\mathbf{}n</math> kertaa, jolloin esimerkiksi <math>\mathbf{}T^{4}(x)</math> tarkoittaa arvoa <math>\mathbf{}T(T(T(T(x))))</math>. (Lisäksi tulkitaan, että <math>\mathbf{}T^{0}(x)=x</math> ja <math>\mathbf{}T^{1}(x)=T(x)</math>.) Esimerkiksi lähtemällä arvosta <math>\mathbf{}x=58/81</math> iteroinnin ensimmäiset kuusi lukua ovat <math>\mathbf{}58/81, T(58/81)=69/81,T(T(58/81))=T(69/81)=36/81,</math> <math>\mathbf{}T(T(T(58/81)))=T(36/81)=108/81, T^{4}(58/81)=T(108/81)=-1</math> ja <math>\mathbf{}T^{5}(58/81)=T(-1)=-3</math>.
== Viitteet ==
| |||