Ero sivun ”Hermiittinen matriisi” versioiden välillä

215 merkkiä lisätty ,  11 vuotta sitten
Suomennetun artikkelin selvennystä ja korjauksia (vrt en wiki)
p (Botti muokkasi: zh:埃尔米特矩阵)
(Suomennetun artikkelin selvennystä ja korjauksia (vrt en wiki))
'''Hermiittinen matriisi''' on [[neliömatriisi]], jonka alkiot ovat [[kompleksiluku]]ja ja joka on itsensä [[konjugaattinenadjungoitu transpoosimatriisi]],. eli alkioToisin sanoen rivillä ''i'' ja sarakkeella ''j'' onoleva alkionalkio on rivillä ''j'' ja sarakkeella ''i'' olevan alkion [[kompleksikonjugaatti]]:
 
:<math>a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}</math>
Voidaan myös merkitä:
:<math> A = A^* \quad </math>.,
tai kuten on tavallisempaa fysiikassa
:<math> A = A^\dagger\,.</math>
 
Esimerkiksi
 
on hermiittinen matriisi.
 
SelvästiJokaisen hermiittisen matriisin [[päädiagonaali]]n alkiot ovat aina reaalilukuja[[reaaliluku]]ja. Matriisi, jonka kaikki alkiot ovat reaalilukuja, on hermiittinen vain, jos se on [[symmetrinen matriisi]], eli jos se on symmetrinen päädiagonaalin suhteen. Reaalinen symmetrinen matriisi on täten erikoistapaus hermiittisestä matriisista.
 
Jokainen hermiittinen matriisi on [[normaali matriisi|normaali]], kutenjoten siihen voidaan soveltaa [[spektraalilause]]esta nähdääntta. Sen mukaan jokainen hermiittinen matriisi voidaan [[diagonaalinen matriisi|diagonalisoida]] [[unitaarinen matriisi|unitaariseksiunitaarisen matriisiksimatriisin]] avulla ja syntyneen matriisindiagonaalimatriisin alkiot ovat reaalilukuja. SitenTästä nähdäänseuraa kaksi keskeistä tulosta:
 
*Hermiittisen matriisin [[ominaisarvo]]t ovat reaalisia.
*Eri suuruisten ominaisarvojen muodostamat ominaisvektorit[[ominaisvektori]]t ovat toisiinsa nähden [[ortogonaalisuusortogonaalinen matriisi|ortogonaalisia]].
 
On siis mahdollistä löytää <math>\mathbb{C}^n</math>:n [[kanta|ortonormaali kanta]], joka koostuu yksinomaan hermiittisen matriisin ominaisvektoreista.
 
Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen matriisi ja [[kääntyvä matriisi]] kääntyvän hermiittisen matriisin käänteismatriisi on hermiittinen. Hermiittisten matriisien ''A'' ja ''B'' tulo on hermiittinen vain jos matriisit [[vaihdannaisuus|kommutoivat]], eli <math>AB = BA\,</math>.
 
Hermiittiset ''n''&times;''n'' matriisit muodostavanmuodostavat [[reaalilukuvektoriavaruus|vektoriavaruuden]]jen suhteen [[vektoriavaruus|vektoriavaruudenreaaliluku]]jen suhteen, mutta eieivät [[kompleksiluku]]jen suhteen. Tämän vektoriavaruuden [[dimensio]] on ''n''<sup>2</sup>. (Yksi [[vapausaste]] päälävistäjän alkiota kohti ja kaksi vapausastetta lävistäjän yläpuolella olevaa alkiota kohti.) Jos hermiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, matriisia kutsutaan [[Positiivisesti definiitti matriisi|positiivisesti definiitiksi]]. Jos taas kaikki ovat epänegatiivisia, on matriisi [[positiivisesti semidefiniitti matriisi|positiivisesti semidefiniitti]].
 
[[Luokka:Lineaarialgebra]]
3 024

muokkausta