Ero sivun ”Ptolemaioksen lause” versioiden välillä

Geometriassa '''Ptolemaioksen lause''' on nelikulmioon liittyvä epäyhtälö. Sen mukaan nelikulmion ABCD sivujen ja lävistäjien pituuksille on voimassa <math>AB\cdot CD+BC\cdot AD\geq AC\cdot BD</math>. Yhtäsuuruus on voimassa vain jos ABCD on [[jännenelikulmio]], eli sen kaikki kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä. Ptolemaioksen lause voidaan todistaa esimerkiksi [[inversio (geometria)|inversion]] avulla tai yhdenmuotoisilla kolmioilla. Lausetta avulla voidaan muun muassa todistaa [[trigonometria]]n summakaavoja.

 

Tarkastellaan nelikulmiota ABCD. Kostruoidaan nyt piste E siten, että kolmiot ACD ja AEB ovat yhtenevät (<math>\angle ABE=\angle CDA</math> ja <math>\angle BEA=\angle CAD</math>). Tällöin <math>\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DC},</math>

joten

<math>AC\cdot DB\leq AB\cdot DC+BC\cdot AD</math>, missä yhtäsuuruus esiintyy vain jos <math>ABCD</math> on jännenelikulmio.

 

[[en:Ptolemy's theorem]]