Ero sivun ”Separoituva avaruus” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 1:
[[Metrinen avaruus ]]<math>(X,d)</math> on '''separoituva''', jos on olemassa [[numeroituva]] joukko <math>A \subset X</math>, jolle <math>\overline A = X</math>. Toisin sanoen <math>A</math> on tiheä <math>X</math>:ssä.
{{Tynkä/Matematiikka}}
Topologiassa ja vastaavilla matematiikan aloilla topologista avaruutta sanotaan separoituvaksi jos se sisältää numeroituvan tiheän osajoukon eli joukon, jossa on numeroituvan monta alkiota ja jonka sulkeuma on koko avaruus. Tämä ehto esiintyy tyypillisesti geometriassa ja matemaattisessa analyysissä. Esimerkiksi reaalilukuja voidaan approksimoida mielivaltaisella tarkkuudella rationaaliluvuilla. Rationaaliluvut ovat myös numeroituva joukko, joten reaalilukujen joukko on separoituva.
Separoituvuus asettaa topologisen avaruuden koolle rajoituksia. Separoituvuus luetaan usein erääksi [[numeroituvuusaksiooma]]ksi. Aksiomaattiselta kannalta separoituvuutta tutkittiin 1940-1960 -luvuilla, jota ennen se luettiin kuuluvaksi [[deskriptiivinen joukko-oppi|deskriptiiviseen joukko-oppiin]].
Esimerkiksi ottamalla separoituva kompleksinen ääretönulotteinen [[Hilbertin avaruus]], saadaan avaruus konstruoitua vain isomorfiaa vaille yksikäsitteisesti. Toisaalta esimerkiksi [[teoreettinen fysiikka|teoreettisessa fysiikassa]] on tutkittu myös epäseparoituvia Hilbertin avaruuksia.
Separoituvuus on erityisen tärkeä käsite [[numeerinen analyysi|numeerisessa analyysissä]] ja [[konstruktiivinen matematiikka|konstruktiivisessä matematiikassa]], sillä monet matematiikan lauseet voidaan todistaa separoituvissa avaruuksissa konstruoimalla esimerkki, mikä ei ole mahdollista epäseparoituvissa avaruuksissa. Saatu konstruktiivinen todistus voidaan kirjoittaa numeeriseksi [[algoritmi]]ksi. Kuuluisa esimerkki on [[Hahnin-Banachin lause]].
[[Luokka:Topologia]]
[[en:Separable space]]
[[fr:Espace séparable]]
[[he:מרחב ספרבילי]]
[[nl:Separabel]]
[[pl:Przestrzeń ośrodkowa]]
| |||