Ero sivun ”Potenssisarja” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Botti lisäsi: tr:Kuvvet serisi |
siirretty artikkelista Sarjakehitelmän neliö |
||
Rivi 9:
[[Polynomi]]t ovat potenssisarjojen erikoistapauksia, joissa summaus on äärellinen. Potenssisarjat ovat hyvin käyttökelpoisia työkaluja ja niitä tulee vastaan monissa yhteyksissä. [[analyysi (matematiikka)|Analyysi]]ssä potenssisarjat ovat perustyökaluja, mutta niitä tarvitaan myös mm. [[todennäköisyyslaskenta|todennäköisyyslaskennassa]] ([[generoiva funktio|generoivat funktiot]]), [[elektroniikka|elektroniikassa]] ([[Z-muunnos]]) tai [[lukuteoria]]ssa ([[p-adiset luvut]] ja [[desimaaliesitys|desimaaliesitykset]]).
==Sarjakehitelmän neliö==
Sarjakehitelmän neliön tarkastelemiseksi olkoon funktion f(x) sarjakehitelmä
<math>f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... =</math>
<math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n</math>
Tämän neliö on
<math>f^2(x) = </math>
<math>\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m</math>
<math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = </math>
<math>\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} a_m a_n x^{m+n} = </math>
<math>\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{p=m}^{\infty} a_m a_{p-m} x^p </math>
jossa p = m + n ja on käytetty hyväksi ehtoa, että kertoimen a alaindeksi ei saa olla negatiivinen:
<math>p - m \ge 0 </math>
eli
<math>p \ge m </math>
[[Tiedosto:Mp-taso.jpg|thumb|mp-taso]]
Oheiseen kuvaan viitaten on sama käydäänkö indeksialue läpi edestakaisin vasemmalta oikealle vai alhaalta ylös. Tämä vastaa summien järjestyksen vaihtamista, joten saadaan
<math>f^2(x) = </math>
<math>\sum_{p=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{p} a_m a_{p-m}\ x^p </math>
Merkitään tässä vielä
<math>b_p = </math>
<math>\sum_{m=0}^{p} a_m a_{p-m}\ </math>
jolloin voidaan kirjoittaa
<math>f^2(x) = </math>
<math>\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n</math>
jossa siis kertoimet b saadaan alkuperäisen sarjakehitelmän kertoimista
<math>b_n = </math>
<math>\sum_{m=0}^{n} a_m a_{n-m}\ </math>{{Tynkä/Matematiikka}}
[[Luokka:Matemaattiset sarjat]]
| |||