Wikipedia

Ero sivun ”Matemaattinen induktio” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
Ei muokkausyhteenvetoa
Rivi 1:
[[Kuva:Dominoeffect.png|right|thumb|240px|Induktiotodistuksen periaatetta voi verrata kaatuviin dominopalikkoihin]]
 
'''Matemaattinen induktio''' on [[matemaattinen todistus]]menetelmä, joka kuuluu matemaattisen [[algebra]]n päähaaraan.
 
Matemaattinen induktio perustuu ''induktioperiaatteeseen'', jolla todistetaan luonnollista lukua <math>n</math> koskeva väite todeksi kaikilla <math>n</math>:n arvoilla,. esimerkiksiTeknisesti <math>0+1+2+induktiotodistus \dotskoostuu +n=\frac{n(n+1)}{2}</math>.kolmesta vaiheesta:
Tämä perustuu siihen, että jos joukolle ''A'' pätee
:1) <math>0 \in A</math> ja
:2) Ehdosta <math>n \in A \Rightarrow n+1 \in A</math>,
niin <math>A=\mathbb{N}</math>.
 
# Perusaskel ▼
Matemaattinen induktio koostuu kolmesta vaiheesta:
#* Osoitetaan esimerkin kautta, että <math>P(0)</math> on tosi▼
 
▲# Perusaskel
▲#* Osoitetaan, että <math>P(0)</math> on tosi
# Induktioaskel
#* Induktio-oletus: oletetaan, että <math>P(n)</math> on tosi arvolla <math>n=k</math>
#* Induktioväite: väitetään, että <math>P(n)</math> tosi arvolla <math>n=k+1</math>
#* Todistus: todistetaan, että induktio-oletuksesta seuraa väitösinduktioväite
# Johtopäätös
#* Induktioaskeleessa todistettiin, että <math>P(n)</math> on tosi aina seuraavalla <math>n</math>:n arvolla. Koska <math>P(0)</math> on tosi, niin myös <math>P(n)</math> on tosi kaikilla <math>n</math>:n luonnollisilla arvoilla.
#* Tämän induktioperiaatteen mukaan <math>P(n)</math> on tosi kaikilla <math>n</math>:n luonnollisilla arvoilla.
 
==Esimerkki==
Todistetaan esimerkissäoikeaksi kaava <math>0+1+2+ \dots +n=\frac{n(n+1)}{2}</math>.
 
# '''Perusaskel:'''
#: TodistetaanNäytetään, että ''P(0)'' pätee:
#: <math>0 = \frac{0 \cdot (0+1)}{2}</math>
# '''Induktioaskel:'''
#: ''Induktio-oletus: P(n)'' on tosi. ''(Varmaksi tiedetään jo siis P(0) paikkansapitävyys)''.
#: ''Induktioväite: P(n + 1)'' on tosi. Toisin sanoen
#: <math>0+1+2+ \dots +n+(n+1) = \frac{(n+1) \cdot ((n + 1)+1)}{2}</math>.
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Matemaattinen_induktio”