Wikipedia

Ero sivun ”Supremum” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
Ei muokkausyhteenvetoa
rv, artikkelin yleinen määritelmä muutettiin suppeammaksi jm.
Rivi 1:
{{yhdistettävä|Yläraja}}
Supremum perustuu [[Yläraja|ylärajan]] käsitteeseen.
[[Reaaliluku|Reaalikuku]] E on joukon S '''supremum''' eli pienin '''yläraja''' joss se on pienin joukon S ylärajoista eikä mikään pienimpi [[Reaaliluku|reaalikuku]] ole joukon S yläraja. [[Reaaliluku|Reaalikuku]] E on myös suurempi tai yhtäsuuri kaikkia joukon S alkioita. Jos supremum on olemassa, se on yksikäsitteinen. Joukon supremum ei välttämättä sisälly joukkoon S. Jos joukko sisältää suurimmän alkion eli [[Maksimi|maksimin]], on se joukon S supremum. Joukon S supremumia merkitään E = sup(S).
 
==Joukon supremum==
 
'''[[Yläraja|Ylärajan]] määritelmä.''' Olkoon <math>S \subset \R </math>.
 
Reaaliluku E on joukon S [[Yläraja|yläraja]] , jos ja vain jos kaikille <math> x \in S </math> pätee x ≤ E.
 
Joukko S on ylhäältä rajoitettu jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen [[Yläraja|yläraja]].
 
'''Supremumin määritelmä.''' Olkoon edelleen <math>S \subset \R </math>.
 
Luku E <math> \in \R</math> on joukon S '''supremum''' eli '''pienin yläraja''',
jos ja vain jos se on pienin joukon S ylärajoista eikä mikään pienempi reaaliluku ole joukon S yläraja.
 
Tällöin merkitään E = sup(S). Siis joukolla S on supremum ja kyseinen supremum on E.
 
E = sup(S) <math> \Longleftrightarrow </math>
 
1) E ≥ x kaikilla x <math> \in </math> S eli E on joukon S yläraja.
 
2) E ≤ M kaikilla joukon S ylärajoilla M.
 
Siis vielä sanallisesti: Reaaliluku E on joukon S supremum jos ja vain jos E on suurempi tai yhtäsuuri kaikkia joukon S alkioita ja E on pienempi tai yhtäsuuri kaikkia muita joukon S ylärajoja.
 
Jos epätyhjällä joukolla S on olemassa supremum, se on yksikäsitteinen. Joukolla voi siis olla enintään yksi supremum.
'''Todistus.''' Olkoon sup(S) = E ja sup(S) = E2. Siis E2 on joukon S eräs yläraja. Tällöin supremumin määritelmän nojalla E ≤ E2. Samoin saadaan E2 ≤ E. Siis E = E2.
 
Täydellisyysaksiooma: Jos joukko <math> S \subset \R </math> on epätyhjä ja se on ylhäältärajoitettu, on joukolla S supremum eli pienin yläraja joukossa <math> \R </math>. Epätyhjä tarkoittaa, että joukon S täytyy sisältää ainakin yksi reaaliluku. Siis jos sup(S) on olemassa, niin joukko S on ylhäältä rajoitettu.
 
Jos joukko S sisältää suurimman alkion eli maksimin, on se joukon S supremum.
 
==Joukon maksimi==
 
Joukon suurimman alkion eli maksimin on kuuluttava joukkoon kun taas supremumin ei tarvitse kuulua joukkoon. Siis jos supremum on olemassa, se ei välttämättä kuulu joukkoon S. Jos joukko S sisältää suurimman alkion eli maksimin, on se joukon S supremum.
 
Jos <math>S \subset \R </math> ja maxS on olemassa niin maxS = sup(S).
 
'''Todistus.''' Olkoon olemassa maxS = E.
 
1)E on joukon S yläraja eli kaikilla x <math>\in</math> S pätee x ≤ E.
 
2)Koska E <math> \in </math> S niin E ≤ sup(S). Toisaalta 1):n nojalla E on joukon S yläraja. Siis E ≥ sup(S). Siis E = sup(S).
 
Ajatellaan negatiivisten reaalilukujen joukkoa, johon nolla ei kuulu. Kyseisellä joukolla ei ole suurinta alkiota sillä jokaiselle osajoukon alkiolle on aina olemassa toinen, suurempi alkio. Siis jokaiselle x <math> \in \R^- </math> on olemassa x/2 <math> \in \R^- </math>, jolle x < x/2. Jokainen reaaliluku joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin nolla on yläraja negatiivisten reaalilukujen joukolle. Siis nolla on negatiivisten reaalilukujen joukon pienin yläraja eli supremum. Siis negatiivisten reaalilukujen joukolla on supremum mutta ei suurinta alkiota eli maksimia.
 
[[Järjestetty joukko|Järjestetyn joukon]] T osajoukon S '''supremum''' eli '''pienin yläraja''' on joukon T alkio, joka on pienin kaikista osajoukon S kaikkia alkioita suuremmista tai yhtä suurista alkioista. Joukon supremum ei siis välttämättä sisälly joukkoon S. Jos joukko sisältää [[Suurin alkio|suurimman alkion]] eli maksimin, on se myös joukon supremum. Supremum on yksikäsitteinen, jos se on olemassa.
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Supremum”