Wikipedia

Ero sivun ”Kosinilause” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
p Palautettu selvempi todistus
pEi muokkausyhteenvetoa
Rivi 9:
[[Kuva:CosenosPorPitagoras1.svg|right|thumb|250px|Todistus noudattaa kuvan määrittelyjä]]
 
OlkootOletetaan, että kulma <math>\gamma</math> on terävä. Olkoon ''h'':n pituus lyhin etäisyys kolmion sivulta ''b'' sivujen ''a'' ja ''c'' yhtymään. Tällöin ''h'' voidaan esittää Pythagoraan lauseen avulla kahdella eri tavalla:
 
<math>
 
\begin{align}
\begin{cases}
h^2 = a^2 - (b-u)^2 \\
h^2 = c^2 - u^2.
\end{cases}</math>
\Rightarrow a^2 - (b-u)^2 = c^2 - u^2▼
\end{align}
</math>▼
 
Siis
Edelleen sieventäen:
 
▲</math>
▲\Rightarrow a^2 - (b-u)^2 = c^2 - u^2.</math>
 
Yhtälöstä voidaan sievennyksien jälkeen ratkaista <math>u</math>:
 
<math>
\begin{align}
a^2 - (b^2 - 2bu + u^2) & = c^2 - u^2, \\
a^2 - b^2 + 2bu - u^2 & = c^2 - u^2, \\
a^2 - b^2 + 2bu & = c^2, \\
u & = \frac{b^2 - a^2 + c^2}{2b}.
\end{align}
</math>
 
Kulman <math>\gamma</math> kosini on kuvion mukaan
Kosini kulmalle ''&gamma;'' on määritelty kuvan mukaan seuraavasti:
 
<math>
\begin{align}
cos(\gamma) & = \frac{b - u}{a} \\
& = \frac{b - \frac{b^2 - a^2 + c^2}{2b}}{a} \\
& = \frac{\frac{2b^2}{2b} + \frac{-b^2 + a^2 - c^2}{2b}}{a} \\
& = \frac{2b^2 - b^2 + a^2 - c^2}{2ab} \\
& = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}. \\end{align}</math>
 
2ab \cdot cos(\gamma) & = a^2 + b^2 - c^2\\▼
Siis
\Rightarrow c^2 & = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)▼
\end{align}
▲ <math>2ab \cdot cos(\gamma) & = a^2 + b^2 - c^2\\</math>
 
ja
 
▲\Rightarrow <math>c^2 & = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma).
</math>
 
Jos kulma <math>\gamma</math> on tylppä, todistus sujuu muodollisesti samoin, kun <math>u> b</math> on etäisyys sivua <math>a</math> vastassa olevasta kolmion kärjestä sivua <math>b</math> vastassa olevasta kärjestä piirretyn korkeusjanan kantapisteeseen, joka nyt on kolmion <math>b</math>-sivun jatkeella.
 
 
==Kosinilause ja vektorit==
Kosinilause on vektorikielellä olennaisesti sama asia kuin kahden vektorin summanerotuksen pituuden lauseke pistetulon avulla laskettuna. KoskaEnsimmäisen vektorienkuvan <math>\overrightarrow{AC}</math>merkinnöin ja <math>\overrightarrow{CB}</math>pistetulon välinenperusominaisuuksia kulmahyväksi on <math>180^{\circ}-\gamma</math>,käyttäen niinsaadaan <math>c^2=|\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{ACCB}+-\overrightarrow{CBCA}|^2=(\overrightarrow{ACCB}+-\overrightarrow{CBCA})\cdot(\overrightarrow{ACCB}+-\overrightarrow{CBCA})=\overrightarrow{ACCB}\cdot\overrightarrow{ACCB}+\overrightarrow{CBCA}\cdot\overrightarrow{CBCA}+-2\overrightarrow{ACCB}\cdot\overrightarrow{CBCA}
</math>
<math>=b^2+a^2+2ab\cos(180^{\circ}-\gamma)=a^2+b^2-2ab\cos\gamma</math>.
==Katso myös==
* [[Sinilause]]
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Kosinilause”