Ero sivun ”Eksponenttifunktio” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
KLS (keskustelu | muokkaukset) Ei muokkausyhteenvetoa |
|||
Rivi 28:
===Eksponenttifunktion <math>e^x</math> vaihtoehtoisia määritelmiä===
Kantaluvun <math>e</math>
:<math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \ldots</math>
Tätä [[eksponenttifunktion sarjakehitelmä|sarjakehitelmää]] voidaan käyttää myös eksponenttifunktion määritelmänä. Sen avulla funktio voidaan määritellä myös, kun argumenttina on [[kompleksiluku]].
Se voidaan kirjoittaa myös raja-arvona seuraavasti:▼
:<math>e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.</math>
Näissä määritelmissä <math>n</math> on [[luonnollinen luku]], <math>x</math> on mielivaltainen reaaliluku tai
==Funktion kulku==
Rivi 77 ⟶ 79:
Kantaluvun <math>e</math> eksponenttifunktion erikoisasema matematiikassa ja monissa matemaattisissa sovelluksissa johtuu juuri tästä derivaatan ominaisuudesta.
==Eksponenttifunktio kompleksialueessa==
[[Kompleksiluku|Kompleksialueelle]] eksponenttifunktio määritellään saman sarjakehitelmän avulla, joka pätee myös reaalisille argumenteille:
:<math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!} = 1 + x + {z^2 \over 2!} + {z^3 \over 3!} + {z^4 \over 4!} + \ldots</math>
Jos kantalukuna on jokin muu reaaliluku ''a'', määritellään eksponenttifunktio <math>a^x</math> seuraavasti:
:<math>a^x = e^{x \ln a}</math>
Kantaluvun ''a'' on kuitenkin oltava positiivinen reaaliluku, muussa tapauksessa eksponenttifunktio ei ole yksikäsitteisesti määriteltävissä.
Samaan tapaan myös [[trigonometrinen funktio|trigonometriset funktiot]] laajennetaan kompleksialueeseen Taylorin sarjakehitelmien avulla. Kompleksialueessa eksponenttifunktion ja trigonometriset funktiot yhdistää toisiinsa [[Eulerin kaava]],
:<math>e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi</math>.
==Sovelluksia==
Erityisesti <math>e</math>:n eksponenttifunktiota hyödynnetään lukuisissa matemaattisissa sovelluksissa. Esimerkiksi monet differentiaaliyhtälöt, kuten [[Schrödingerin yhtälö]] ja [[Laplacen yhtälö]], johtavat <math>e</math>:n eksponenttifunktioihin. Samoin todennäköisyyslaskennan [[Rencontre-ongelma]] ratkeaa <math>e</math>:n eksponenttifunktion avulla.
=== Eksponentiaalinen kasvu ja pieneneneminen ===
{{pääartikkeli|[[Eksponentiaalinen kasvu]]}}
[[mallintaminen|Mallinnettaessa]] sellaisia mitattavia ilmiöitä, joissa ilmiön kulloinenkin muutosnopeus on [[suoraan verrannollisuus|suoraan]] tai [[kääntäen verrannollisuus|kääntäen verrannollinen]] ilmiön sen hetkiseen arvoon, sopii muotoa
Rivi 86 ⟶ 108:
:<math>f(t) = c \cdot e^t</math>
oleva eksponenttifunktio usein ilmiön kuvaajaksi. Tässä <math>t</math> on ajanhetki ja <math>c</math> on reaalilukuvakio.
== Katso myös ==
* [[Eksponenttifunktion sarjakehitelmä]]
[[Luokka:Analyysi]]
|