Ero sivun ”Eksponenttifunktio” versioiden välillä

[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa
Rivi 28:
 
===Eksponenttifunktion <math>e^x</math> vaihtoehtoisia määritelmiä===
Kantaluvun <math>e</math> eksponenttifunktioeksponenttifunktion voidaan määritellä päättymättömänä<math>e^x</math> [[potenssisarjaTaylorin sarja]]na seuraavasti:on
 
:<math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \ldots</math>
 
Tätä [[eksponenttifunktion sarjakehitelmä|sarjakehitelmää]] voidaan käyttää myös eksponenttifunktion määritelmänä. Sen avulla funktio voidaan määritellä myös, kun argumenttina on [[kompleksiluku]].
Se voidaan kirjoittaa myös raja-arvona seuraavasti:
 
SeEksponenttifunktio voidaan kirjoittaa myös raja-arvona seuraavasti:
 
:<math>e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.</math>
 
Näissä määritelmissä <math>n</math> on [[luonnollinen luku]], <math>x</math> on mielivaltainen reaaliluku tai [[kompleksiluku]] ja <math>n!</math> on [[kertoma]].
 
==Funktion kulku==
Rivi 77 ⟶ 79:
 
Kantaluvun <math>e</math> eksponenttifunktion erikoisasema matematiikassa ja monissa matemaattisissa sovelluksissa johtuu juuri tästä derivaatan ominaisuudesta.
 
==Eksponenttifunktio kompleksialueessa==
 
[[Kompleksiluku|Kompleksialueelle]] eksponenttifunktio määritellään saman sarjakehitelmän avulla, joka pätee myös reaalisille argumenteille:
 
:<math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!} = 1 + x + {z^2 \over 2!} + {z^3 \over 3!} + {z^4 \over 4!} + \ldots</math>
 
Jos kantalukuna on jokin muu reaaliluku ''a'', määritellään eksponenttifunktio <math>a^x</math> seuraavasti:
 
:<math>a^x = e^{x \ln a}</math>
 
Kantaluvun ''a'' on kuitenkin oltava positiivinen reaaliluku, muussa tapauksessa eksponenttifunktio ei ole yksikäsitteisesti määriteltävissä.
 
Samaan tapaan myös [[trigonometrinen funktio|trigonometriset funktiot]] laajennetaan kompleksialueeseen Taylorin sarjakehitelmien avulla. Kompleksialueessa eksponenttifunktion ja trigonometriset funktiot yhdistää toisiinsa [[Eulerin kaava]],
 
:<math>e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi</math>.
 
 
==Sovelluksia==
 
Erityisesti <math>e</math>:n eksponenttifunktiota hyödynnetään lukuisissa matemaattisissa sovelluksissa. Esimerkiksi monet differentiaaliyhtälöt, kuten [[Schrödingerin yhtälö]] ja [[Laplacen yhtälö]], johtavat <math>e</math>:n eksponenttifunktioihin. Samoin todennäköisyyslaskennan [[Rencontre-ongelma]] ratkeaa <math>e</math>:n eksponenttifunktion avulla.
 
=== Eksponentiaalinen kasvu ja pieneneneminen ===
{{pääartikkeli|[[Eksponentiaalinen kasvu]]}}
 
[[mallintaminen|Mallinnettaessa]] sellaisia mitattavia ilmiöitä, joissa ilmiön kulloinenkin muutosnopeus on [[suoraan verrannollisuus|suoraan]] tai [[kääntäen verrannollisuus|kääntäen verrannollinen]] ilmiön sen hetkiseen arvoon, sopii muotoa
Rivi 86 ⟶ 108:
:<math>f(t) = c \cdot e^t</math>
 
oleva eksponenttifunktio usein ilmiön kuvaajaksi. Tässä <math>t</math> on ajanhetki ja <math>c</math> on reaalilukuvakio. EsimerkiksiTällöin suureen sanotaan kasvavan tai pienenevän [[eksponentiaalinen kasvu|eksponentiaalisesti]] riippuen siitä, onko vakio ''c'' positiivinen vai negatiivinen. Jos pääomalle maksetaan jatkuvasti [[korko]]a korolle, se kasvaa ajan myötä eksponentiaalisesti. Myös esimerkiksi [[Thomas Malthus]]in esittämässä rajoittamattomassa väestönkasvumallissa vakio on positiivinen, eli hänen mallinsa mukaan väkiluku pyrkii kasvamaan eksponentiaalisesti. [[radioaktiivinen hajoaminen|Hajoavan radioaktiivisen aineen]] määrää esittävissä funktioissa vakio puolestaan on negatiivinen eli jäljellä olevan aineen määrä pienenee eksponentiaalisesti.
 
== Katso myös ==
* [[Eksponenttifunktion sarjakehitelmä]]
 
Eksponenttifunktioon liittyy myös seuraava:
* [[Eulerin lause (funktioteoria)|Eulerin lause]], matemaattinen kaava, joka koskee kompleksiluvuille määritellyn <math>e</math>:n eksponenttifunktion ja [[trigonometria]]n välistä yhteyttä.
 
[[Luokka:Analyysi]]