Ero sivun ”Diracin deltafunktio” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 27:
jos ''a'' ja ''b'' ovat joko molemmat positiivisia tai molemmat negatiivisia. Täten Diracin deltafunktio on [[Heavisiden funktio]]n derivaatta.
Diracin deltafunktio voidaan kertoa mielivaltaisella reaaliluvulla A, jolloin saadun funktion integraali on A. Kuitenkin esimerkiksi funktiot ''f''(''x'') = δ(''x'') ja ''g''(''x'') = 2 δ(''x'') ovat kaikkialla yhtä suuret, myös nollassa, jossa molemmat saavat arvon ääretön, mutta kuitenkin niiden integraalit ovat eri suuret. Tämä on kuitenkin ristiriidassa [[Lebesguen integraali]]teorian kanssa. Sen mukaan jos funktiot ''f'' ja ''g'' saavat saman arvon [[melkein kaikkialla]] (toisin sanoen kaikkialla muualla paitsi joukossa, jonka [[Lebesguen mitta]] on nolla), silloin ''g'' on integroituva, jos ja vain jos ''f'' on integroituva ja molempien funktioiden integraalit ovat yhtä suuret. Diracin deltafunktio voidaankin täsmällisesti määritellä ainoastaan matemaattisten [[distribuutio(matematiikka)|distribuutioiden]] teorian avulla.
Diracin deltafunktiota käytetään runsaasti [[fysiikka|fysiikan]] eri aloilla. Integroitaessa se on hyvin hyödyllinen sellaisten funktioiden approksimaationa, jotka ovat terävän piikin muotoisia. Se voidaan käsittää samankaltaiseksi abstraktioksi kuin [[massapiste]] tai pistemäinen [[sähkövaraus]]. [[Mekaniikka|Mekaniikassa]] sitä voidaan soveltaa [[törmäys|törmäyksiin]], esimerkiksi pallon lyöntiin [[pesäpallo]]mailalla, jolloin palloon kohdistuva [[voima (fysiikka)|voima]] vaikuttaa vain äärimmäisen lyhyen ajan, mutta pallon [[liikemäärä]]n ja [[liike-energia]]n muutos ja siten voiman [[impulssi]] ja sen tekemä [[työ (fysiikka)|työ]] ovat helposti todettavissa. Tällöin voidaan ajatella palloon kohdistuvan voiman vaihdelleen ajan funktiona Diracin deltafunktion mukaisella tavalla.
| |||