Wikipedia

Ero sivun ”Bayesin teoreema” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
ArthurBot (keskustelu | muokkaukset)
88 308 muokkausta
p Botti lisäsi: cs:Bayesova věta
muotoilua
Rivi 1:
'''Bayesin teoreema''' (myös '''Bayesin sääntö''' tai '''Bayesin laki''') on [[Ehdollinen todennäköisyys|ehdolliseen todennäköisyyteen]] liittyvä matemaattinen [[lause (matematiikka)|teoreema]]. Teoreeman voidaan tulkita kuvaavan uskomusten päivittämistä uuden todisteaineiston valossa ''[[a posteriori]]''. Teoreema on nimetty sen kehittäneen [[1700-luku|1700-luvulla]] eläneen brittiläisen pastoripastorin ja matemaatikkomatemaatikon [[Thomas Bayes]]in mukaan.
 
Kaavan soveltamiseen perustuu [[bayesilainen tilastotiede]].
 
==Teoreeman esittely==
Tapahtuman ''A'' todennäköisyys ehdolla ''B'' (merkitään P(A|B)) on yleisestiyleisessä tapauksessa eri asia kuin todennäköisyys tapahtumalle ''B'' ehdolla ''A'' (merkitään P(B|A)). Näiden kahden ehdollisen todennäköisyyden välillä on kuitenkin suhde, jota Bayesin teoreema kuvaa. Teoreema kuuluu seuraavasti:▼
 
:<math>\mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(A \mid B)\;\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(A)}\!</math>▼
▲Tapahtuman ''A'' todennäköisyys ehdolla ''B'' on yleisesti eri asia kuin ''B'' ehdolla ''A''. Näiden kahden ehdollisen todennäköisyyden välillä on kuitenkin suhde, jota Bayesin teoreema kuvaa. Teoreema kuuluu seuraavasti:
 
missä
▲:<math>\mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(A \mid B)\;\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(A)}\!</math>
* <math>P(A)\,</math> on ''A'':n priori-todennäköisyys. Se ei riipu ''B'':stä (jota joskus kutsutaan havainnoksi).
* <math>\mathbb{P}(A \mid B)</math> on ''A'':n priori-todennäköisyys. Se ei riipuehdolla ''B'':stä. (jota joskusTätä kutsutaan havainnoksi)myös posterioritodennäköisyydeksi.
* <math>\mathbb{P}(AB \mid BA)</math> on ''AB'':n todennäköisyys ehdolla ''BA''. Tätä kutsutaan myös posterioritodennäköisyydeksi.
* <math>\mathbb{P}(B )\mid A),</math> on ''B'':n priori-todennäköisyys ehdolla ''A''.
* <math>\mathbb{P}(B)</math> on B:n priori-todennäköisyys.
 
===Esimerkki teoreeman käytöstä=== <!--en-wikistä-->
Oletetaan, että meillä on kaksi purkillista keksejä. Purkissa 1A on 10 suklaakeksiä sekä 30 kookoskeksiä, kun taas purkissa 2B on molempia laatuja 20 kappaletta. Oletetaan, että FredMatti valitsee ensin sattumanvaraisesti toisen purkeista ja sitten nostaa valitsemastaan purkista sattumanvaraisesti yhden keksin. FredinHavaitaan, että Matin valitsema keksi on kookoskeksi. Millä todennäköisyydellä se on peräisin purkista 1A?▼
 
Intuitiivisesti on tietenkin helppo nähdä, että koska kookoskeksejä on purkissa 1A enemmän kuin 2purkissa B, on todennäköisyyden oltava suurempi kuin 0.,5. Tarkka todennäköisyys voidaan laskea Bayesin teoreeman avulla. Nyt▼
▲Oletetaan, että meillä on kaksi purkillista keksejä. Purkissa 1 on 10 suklaakeksiä sekä 30 kookoskeksiä, kun taas purkissa 2 on molempia laatuja 20 kappaletta. Oletetaan, että Fred valitsee ensin sattumanvaraisesti toisen purkeista ja sitten nostaa valitsemastaan purkista sattumanvaraisesti yhden keksin. Fredin valitsema keksi on kookoskeksi. Millä todennäköisyydellä se on peräisin purkista 1?
 
:::<math>\mathbb{P}(purkki\ 1A|kookoskeksi)=?</math> ▼
▲Intuitiivisesti on helppo nähdä, että koska kookoskeksejä on purkissa 1 enemmän kuin 2, on todennäköisyyden oltava suurempi kuin 0.5. Tarkka todennäköisyys voidaan laskea Bayesin teoreeman avulla.
 
:<math>\mathbb{P}(purkki\ 1|kookoskeksi)</math> on todennäköisyys sille, että Fredin valitsema purkki on purkki 1A siinä tapauksessa, että hän on valinnut purkista kookoskeksin. TähänTälle todennäköisyydelle etsimme tässä ongelmassa ratkaisua.
▲:::<math>\mathbb{P}(purkki\ 1|kookoskeksi)=?</math>
 
:<math>\mathbb{P}(kookoskeksi)</math> on todennäköisyys sille, että FredinMatin valitsema keksi on kookoskeksi. Tätä todennäköisyyttä kuvaa luonnollisesti kookoskeksien osuus kaikista mahdollisista kekseistä. Kookoskeksejä on ensimmäisessä purkissa 30 kappaletta ja toisessa purkissa 20 kappaletta, eli yhteensä 50 kappaletta. Koska molemmissa purkeissa on 40 keksiä, on keksien kokonaismäärä 80 kappaletta. Näin saadaan
:::<math>\mathbb{P}(kookoskeksi) = \frac{50}{80}=0,625</math>▼
 
▲:::<math>\mathbb{P}(kookoskeksi) = \frac{50}{80}=0,625</math>
:<math>\mathbb{P}(purkki\ 1)</math> on todennäköisyys sille, että Fredin valitsema purkki on nimenomaan purkki 1. Kahdesta purkista yhden tietyn valitsemisen todennäköisyys on 0.5.
::: <math>\mathbb{P}(purkki\ 1)=0.5</math>▼
 
:Vastaavasti <math>\mathbb{P}(kookoskeksi|purkki\ 1A)</math> on todennäköisyys sille, että FredinMatin valitsema keksipurkki on kookoskeksinimenomaan siinäpurkki tapauksessa,A. ettäKahdesta hänpurkista onyhden valinnuttietyn purkinvalitsemisen 1. Koska purkissa 1todennäköisyys on yhteensäluonnollisesti 40 keksiä0, joista 30 on kookoskeksejä, saadaan todennäköisyydeksi5.
:::<math>\mathbb{P}(kookoskeksi|purkki\ 1)=\frac{30}{40}=0,75</math>▼
 
▲::: <math>\mathbb{P}(purkki\ 1A)=0.,5</math>
Tämän informaation avulla voimme laskea todennäköisyyden sille, että Fredin valitsema kookoskeksi on peräisin purkista 1:▼
 
<math>P(kookoskeksi|purkki\ A)</math> on todennäköisyys sille, että Matin valitsema keksi on kookoskeksi siinä tapauksessa, että hän on valinnut purkin A. Koska purkissa A on yhteensä 40 keksiä, joista 30 on kookoskeksejä, saadaan todennäköisyydeksi
:<math>\mathbb{P}(purkki\ 1|kookoskeksi) \frac{\mathbb{P}(kookoskeksi|purkki\ 1) \mathbb{P}(purkki\ 1)}{\mathbb{P}(kookoskeksi)} = \frac{0.75 \cdot 0.5}{0.625} = 0.6</math>▼
 
▲:::<math>\mathbb{P}(kookoskeksi|purkki\ 1A)=\frac{30}{40}=0,75</math>
 
▲Tämän informaation avulla voimme nyt laskea todennäköisyyden sille, että FredinMatin valitsema kookoskeksi on peräisin juuri purkista 1A:
 
▲:::<math>\mathbb{P}(purkki\ 1A|kookoskeksi) = \frac{\mathbb{P}(kookoskeksi|purkki\ 1A) \mathbb{P}(purkki\ 1A)}{\mathbb{P}(kookoskeksi)} = \frac{0.,75 \cdot 0.,5}{0.,625} = 0.,6</math>
 
On siis 60% todennäköisyys, että Matin kookoskeksi on purkista A.
 
==Teoreeman johtaminen ehdollisesta todennäköisyydestä== <!-- käännetty suoraan en-wikistä -->
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Bayesin_teoreema”