Ero sivun ”Kosinilause” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 2:
'''Kosinilause''' on trigonometrian tulos, jonka perusteella on mahdollista määrittää kolmion kulmat, kun sen kaikki sivut tunnetaan tai kolmion tuntematon sivu, kun yksi kolmion kulma ja sen viereiset sivut tunnetaan. Kosinilauseen sisällön ilmaisee kaava
<center><math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma</math>,</center>
missä <math>\gamma</math> on kolmion jokin [[kulma]], <math>a</math> ja <math>b</math> sen viereisten sivujen pituudet, ja <math>c</math> vastakkaisen sivun pituus.
Jos <math>\gamma</math> on suora kulma, on <math>\cos\gamma=0</math>, jolloin kaava palautuu Pythagoraan lauseeseen.
Rivi 10:
Olkoon <math>CD</math> kolmion <math>ABC</math> kärjestä <math>C</math> piirretty korkeusjana. Selvästi <math>c=b\cos\alpha+a\cos\beta</math> (myös silloin, kun jompikumpi kulmista <math>\alpha</math> tai <math>\beta</math> on tylppä). [[Sinilause|Sinilauseen]] mukaan <math>b\sin\alpha=a\sin\beta</math>. Siis <math>c^2=c^2+0^2=(b\cos\alpha+a\cos\beta)^2+(b\sin\alpha-a\sin\beta)^2=b^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+a^2(\cos^2\beta+\sin^2\beta)+2ab(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)=a^2+b^2+2ab\cos(\alpha+\beta)=a^2+b^2-2ab\cos\gamma.</math> Tässä käytettiin hyväksi kosinin yhteenlaskukaavaa ja sitä, että <math>\cos(\alpha+\beta)=\cos(180^{\circ}-\gamma)=-\cos\gamma</math>.
==Kosinilause ja vektorit==
Kosinilause on vektorikielellä olennaisesti sama asia kuin kahden vektorin summan pituuden lauseke pistetulon avulla laskettuna. Koska vektorien <math>\overrightarrow{AC}</math> ja <math>\overrightarrow{CB}</math> välinen kulma on <math>180^{\circ}-\gamma</math>, niin <math>c^2=|\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}|^2=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\cdot(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}
</math>
<math>=b^2+a^2+2ab\cos(180^{\circ}-\gamma)=a^2+b^2-2ab\cos\gamma</math>.
==Katso myös==
* [[Sinilause]]
* [[Tangenttilause]]
[[Luokka:Geometria]]
| |||