Wikipedia

Ero sivun ”Kosinilause” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
TXiKiBoT (keskustelu | muokkaukset)
194 810 muokkausta
p Botti lisäsi: pms:Teorema dël cosen
Ei muokkausyhteenvetoa
Rivi 1:
[[Kuva:Triangle with notations.svg|thumb||300px|Kolmio, jonka symbolit ovat samat kuin viereisessä kaavassa]]
'''Kosinilause''' on trigonometrian tulos, jonka perusteella on mahdollista määrittää kolmion kulmat, kun sen kaikki sivut tunnetaan tai kolmion tuntematon sivu, kun yksi kolmion kulma ja sen viereiset sivut tunnetaan. Kosinilauseen sisällön ilmaisee kaava
'''Kosinilause''' on mielivaltaisiin [[kolmio]]ihin laajennettu [[Pythagoraan lause]]. Kosinilause on kaava
<center><math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos (\gamma)</math>,</center>
missä <math>\gamma</math> on kolmion jokin [[kulma]], <math>a</math> ja <math>b</math> sen viereisten sivujen pituudet, ja <math>c</math> vastakkaisen sivun pituus.
 
Jos <math>\gamma</math> on suora kulma, on <math>\cos (\gamma)=0</math>, jolloin kaava palautuu Pythagoraan lauseeseen.
 
==Todistus==
[[Kuva:CosenosPorPitagoras1Kosinilauseentod.svgjpg|right|thumb|250px|Todistus noudattaa kuvan määrittelyjä]]
Olkoon <math>CD</math> kolmion <math>ABC</math> kärjestä <math>C</math> piirretty korkeusjana. Selvästi <math>c=b\cos\alpha+a\cos\beta</math> (myös silloin, kun jompikumpi kulmista <math>\alpha</math> tai <math>\beta</math> on tylppä). [[Sinilause|Sinilauseen]] mukaan <math>b\sin\alpha=a\sin\beta</math>. Siis <math>c^2=c^2+0^2=(b\cos\alpha+a\cos\beta)^2+(b\sin\alpha-a\sin\beta)^2=b^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+a^2(\cos^2\beta+\sin^2\beta)+2ab(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)=a^2+b^2+2ab\cos(\alpha+\beta)=a^2+b^2-2ab\cos\gamma.</math> Tässä käytettiin hyväksi kosinin yhteenlaskukaavaa ja sitä, että <math>\cos(\alpha+\beta)=\cos(180^{\circ}-\gamma)=-\cos\gamma</math>.
Olkoot ''h'':n pituus lyhin etäisyys kolmion sivulta ''b'' sivujen ''a'' ja ''c'' yhtymään. Tällöin ''h'' voidaan esittää Pythagoraan lauseen avulla kahdella eri tavalla:
 
<math>
\begin{align}
\begin{cases}
h^2 = a^2 - (b-u)^2 \\
h^2 = c^2 - u^2
\end{cases}
\Rightarrow a^2 - (b-u)^2 = c^2 - u^2
\end{align}
</math>
 
Edelleen sieventäen:
 
<math>
\begin{align}
a^2 - (b^2 - 2bu + u^2) & = c^2 - u^2 \\
a^2 - b^2 + 2bu - u^2 & = c^2 - u^2 \\
a^2 - b^2 + 2bu & = c^2 \\
u & = \frac{b^2 - a^2 + c^2}{2b}
\end{align}
</math>
 
Kosini kulmalle ''&gamma;'' on määritelty kuvan mukaan seuraavasti:
 
<math>
\begin{align}
cos(\gamma) & = \frac{b - u}{a} \\
& = \frac{b - \frac{b^2 - a^2 + c^2}{2b}}{a} \\
& = \frac{\frac{2b^2}{2b} + \frac{-b^2 + a^2 - c^2}{2b}}{a} \\
& = \frac{2b^2 - b^2 + a^2 - c^2}{2ab} \\
& = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\
2ab \cdot cos(\gamma) & = a^2 + b^2 - c^2\\
\Rightarrow c^2 & = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)
\end{align}
</math>
 
==Katso myös==
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Kosinilause”