Ero sivun ”Kokonaisalue” versioiden välillä

1 160 merkkiä lisätty ,  12 vuotta sitten
Lisäsin kappaleen äärellisistä kokonaisalueista
p (Luokitusta täsmennetty)
(Lisäsin kappaleen äärellisistä kokonaisalueista)
 
Luokittelu eri karakteristikan mukaan on tärkeä tapa jaotella kokonaisalueita. Erityisen suuri ero on niiden kokonaisalueiden välillä, joiden karakteristika on nolla (äärettömien) ja joiden karakteristika on alkuluku. Jos kokonaisalueen ''D'' karakteristika on nolla, on ''D'':ssä äärettömän monta alkioita. Esimerkiksi kuntalaajennukset käyttäytyvät eri lailla riippuen siitä, onko alkukunnan karakteristika ääretön vai äärellinen. Ero tulee näkyviin esimerkiksi [[kuntalaajennus]]ten yhteydessä.
 
==Äärelliset kokonaisalueet==
 
Keskeinen äärellisiä kokonaisalueita koskeva tulos on se, että jokainen äärellinen kokonaisalue on [[kunta (matematiikka)|kunta]].
Toisin sanoen sen jokaisella nollasta eroavalla alkiolla on käänteisalkio.
 
Tulos voidaan perustella seuraavasti:
 
Olkoon <math>R</math> äärellinen kokonaisalue, <math>m</math> kokonaisalueen <math>R</math> alkioiden lukumäärä ja <math>a</math> jokin sen nollasta eroava alkio.
Olkoot <math>b_1,b_2, ..., b_m</math> kokonaisalueen ''R'' erisuuret alkiot. Tällöin myös alkiot <math>b_1a, b_2a, ..., b_ma</math> ovat keskenään erisuuria.
Jos nimittäin olisi <math>b_ia=b_ja</math> erisuurilla indeksien <math>i</math> ja <math>j</math> arvoilla, niin olisi <math>(b_i-b_j)a=0</math>. Tällöin <math>b_i-b_j</math> ja <math>a</math> olisivat kokonaisalueen <math>R</math> nollasta eroavia nollantekijöitä. Tämä on ristiriita. Alkiot <math>b_1a,b_2a, ..., b_ma</math> käyvät siis läpi kaikki kokonaisalueen <math>R</math> alkiot. Erityisesti <math>b_ka=1</math> jollakin <math>k=1,...,m</math>. Alkio <math>b_k</math> on tällöin alkion <math>a</math> käänteisalkio.
 
 
1 506

muokkausta